f:ℝ->ℝ, x-> x/x+1 für x≥ 0 und 0,5(x+1)2 für x<0
Diffquot bei x=0 ist für x>0
(f(0) - f(x)) / (0 - x)
= ( 0 - x/(x+1) ) / -x
= 1 / x+1 und für x gegen 0 also Grenzwert 1
für x< 0
(f(0) - f(x)) / (0 - x)
= 0 - 0,5(x+1)^2 / - x
= 0,5( x^2 + 2x + 1) / x
= 0,5x + x + 1/x hat für x gegen den GW + unendlich,
also f bei 0 nicht differenzierbar. Ist auch klar, ist ja nicht mal stetig.
g:ℝ->ℝ, x-> |x-1|3+x|x+1|
bei x=-1
(f(-1) - f(x) ) / ( -1 - x )
= ( 8 - ( |x-1|3+x|x+1|) / (-x-1) für x gegen -1 hat 8 - |x-1|3 den Gw 0, bleibt also
- x * | x+1 | / (- x-1) und für x>-1 ist das -x * (x+1) / (-x-1) = -x * -1 = x also GW -1
aber für x<-1 ist es -x * (-x-1) / (-x-1) = x * -1 = x also GW +1
also allgemein kein GW für x gegen -1, also nicht diffb.
bei x=1 Diffquot (f(1) - f(x) ) / ( 1 - x )
= ( 2 - ( |x-1|3+x|x+1|) ) / (1-x)
= ( 2 - |x-1|3 -x|x+1|) ) / (1-x)
Für x gegen 1 geht x*|x+1| gegen 2 und hebt sich also mit der
vorderen 2 auf, bleibt zu prüfen:
- |x-1|3 / (1-x)
für x>1 ist das - (x-1)^3 / (1-x) = - (x-1) * (x-1)^2 / - (x-1) = (x-1)^2 und das hat den GW 0.
für x1<1 ist das - (-x+1)^3 / (1-x) = (x-1) * (-x+1)^2 / - (x-1) = -(-x+1)^2 und das hat auch den GW 0.
also ist g bei x=1 diffb mit g ' (1) = 0.
