Geben Sie alle Nullstellen der Funktion und deren Vielfachheiten an. Ganzrationale Funktion f(x) = (x+1)^2(x-1)

Question

Aufgabe Ganzrationate Funktionen:

Gegeben ist die reelle Funktion \( \mathrm{f} \) durch die Gleichung

\( f(x)=(x+1)^{2}(x-1) \quad \text { mit } D_{f}=R \)

Der Graph der Funktion \( f \) im kartesischen Koordinatensystem heißt \( G_{f} \).

2.1 Geben Sie alle Nullstellen der Funktion \( \mathrm{f} \) und deren Vielfachheiten an. Nennen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) mit der Ordinatenachse.

2.2 Weisen Sie nach, dass der Graph \( G \) an der Stelle \( x=\frac{1}{3} \) eine waagerechte Tangente besitzt.

2.3 Zeichnen Sie den Graphen \( \mathrm{G}_{f} \) in ein geeignetes Koordinatensystem.

2.4 Der Graph \( G_{f} \) und die Abszissenachse begrenzen eine Fläche vollständig. Geben Sie einen Ansatz zur Berechinung des Inhalts dieser Fläche und eine entsprechende Stamumfunktion an.

Answer 1

2.1) Ansatz f(x) = 0 zum Auffinden der Nullstellen

-> 0 = (x + 1)²*(x - 1)

Ein Produkt ist dann Null, wenn die multiplikativ verbunden Terme jeweils zu Null werden:

-> (x + 1)² = 0 oder (x + 1)*(x + 1) = 0 -> Hier ergibt sich die doppelte Nullstelle x = -1

-> (x - 1) = 0 -> Hier ergibt sich die einfache Nullstelle x = 1

Ansatz x = 0 zum Auffinden des Schnittpunktes mit der y-Achse

f(x=0) = (0 + 1)²*(0 - 1) = -1

2.2) Bei waagerechten Tangenten gibt es keinen Anstieg -> f'(x) = 0

f'(x) nach Produktregel

u =  (x + 1)² -> u' = 2*(x + 1)*1 und v = ( x - 1) -> v' = 1

f'(x) = u*v' + u'*v

f'(x) =  (x + 1)²*1*1 + 2*(x + 1)*(x - 1)

f*(x) = (x + 1)²  + 2*(x² - 1)

-> f*(x = 1/3) = (1/3 + 1)²  + 2*((1/3)² - 1) = 0 -> keine Anstieg vorhanden an der Stelle x = 1/3. Somit liegt eine waagerechte Tangente vor.

2.3) Skizze kannst selber machen.

2.4) Abzisse = x-Achse

von x = -1 bis x = 1 begrenzt die x-Achse den Graphen.

Flächeninhalt geht immer über Integralrechnung:

A = ∫ von x = -1 bis x = 1 über f(x)*dx

Wir müssen f(x) integrieren und dann die untere und obere Integrationsgrenze einsetzen:

Dazu empfehle ich f(x) als Summenterme umzuformen

f(x) = (x + 1)²*(x - 1) = (x² + 2x +1)*(x - 1)) = x³ + 2x² +1*x -x² - 2x -1 = x³ + x² - x -1

Integral von f(x) über Potenzregel = x⁴/4 + x³/3 - x²/2  -x

A = x⁴/4 + x³/3 - x²/2  -x |_-1 ¹ = (1⁴/4 + 1³/3 - 1²/2  -1) - ((-1)⁴/4 + (-1)³/3 - (-1)²/2  - (-1)) = 1/4 + 1/3 - 1/2  -1 - 1/4 + 1/3 +1/2  - 1 =  2/3 - 2 = -4/3 FE (negativer Wert, weil es unterhalb der x-Achse ist)