Zeige, ob die Matrix plus die Einheitsmatrix diagonalisierbar ist.

Question

Ich habe die Eigenverte und -Vektoren der Matrix im Anhang bestimmt. Und dadurch gesehen, dass sie nicht diagonalisierbar ist.

\( A=\left(\begin{array}{rrrr}-1 & -1 & 4 & 1 \\ 2, & -10 & 15 & 7 \\ 6 & -11 & 12 & 6 \\ -4 & -1 & 5 & 3\end{array}\right) \)

Nun soll ich zeigen, ob dieselbe Matrix plus die Einheitsmatrix diagonalisierbar ist.

Man könnte nun den selben Weg wieder gehen, (das habe ich auch schon mal gemacht) und erkennen, dass diese neue Matrix auch nicht diagonalisierbar ist.

Allerdings ist das nicht sehr elegant. Wie könnte ich das theoretisch zeigen?

Answer 1

Beueichne f(t)=det (A-tE) das char. Polynom von A so ist det(A+E-tE)=det(A-(t-1)E)=f(t-1) das char. Pol. von A+E
Damit k+1 ein Eigenwert von A+E falls k einer von A ist mit den identischen algebraischen und geom. Vielfachheiten.
Damit ist A diagonalisierbar genau dann wenn A+E es ist.

Comments

Die Umformungsschritte waren mir bewusst, aber der Schluss, dass k+1 ein Eigenwert von A+E, wenn k ein Eigenwert von A, das will mir nicht in den Sinn!

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Einsetzen ins char. Polynom.

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Also folgendermaßen?

\( \chi(\lambda-1)=(\lambda-1)^{4}-4(\lambda-1)^{3}+5(\lambda-1)^{2}-4(\lambda-1)+4 \)

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Nein, das ist viel zu aufwändig und speziell.

k ist Eigenwert von A, falls f(k)=0.

Damit ist f((k+1) -1)=0, also k+1 Nullstelle von f(t-1) dem char. Pol. von A+E.

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Ok, das habe ich auch verstanden. Aber woher weiß ich, dass die Eigenvektoren im Gegensatz zu den Eigenwerten konstant bleiben (und damit die geometrische Vielfachheit)?

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Banale Rechnung:
(A+E)v=Av+v=kv+v=(k+1)v