Ist die Funktion f(x)=(1+ln(x))/ x^{2} auf dem Intervall 1 bis unendlich umkehrbar?

Question

f(x)= im zähler (1+ln(x)) und im nenner x^{2}

Ich habe ja geschrieben da ja

f(x1)>=f(x2) ist.

Reicht diese begrüdung?

Rechnen bzw. umkehren muss man nicht.

Answer 1

Hier steht dasselbe wie bei mathef auch,
nur in etwas anderen Worten.

Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie entweder streng
monoton steigend oder streng monoton fallend ist.

f ´( x ) = - ( 2 * ln ( x ) + 1 ) / x^3  im Intervall [ 1;∞ ]
Der Zähler geht von
- ( 2 * ln ( 1 ) + 1 ) = - ( 1 ) bis
- ( 2 * ln ( ∞ ) + 1 ) = - ( ∞ )

Der Zähler ist stets negativ.
Der Nenner ist stets positiv.

f ´( x ) ist stets negativ = fallend.

Comments

Ah ok danke so war es für mich verständlicher ;)

Answer 2

"f(x)= im zähler (1+ln(x)) und im nenner x²

Ich habe ja geschrieben da ja

f(x1)>=f(x2) ist.

Reicht diese begrüdung?"

Nur, wenn du die Monotonie explizit nachgerechnet hast. Also nur die angegebene Zeile reicht nicht.

Comments

Reicht ein zahlen beispiel?

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Nein das musst du allgemein rechnen.

Du kannst aber auch mit der Ableitung in https://www.mathelounge.de/199758/leite-ab-f-x-1-ln-x-x-2 argumentieren.

Die ändert im Intervall [1, unendlich) das Vorzeichen nicht und ist dort auch nie Null.

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Koennen wir bze kannst du mir beides zweck des übungs zeigen?

Das hier war mal eine prüfungsaufgabe.

Also einmal

Allgemein das mit f(x1)>=f(x2) Zeigen.

Und einmal

Das mit der ableitung

(Die habe ich heutr auch alleine hinbekommen^^)

Ich verstehe Einmal nicht wie ich zeigen kann das es kein vorzeichenwechsel hat und welche relevanz zu nicht null hat ?

Danke

Answer 3

f ' (x) = - ( 2ln(x) + 1 ) / x^3 und für x>1 ist ln(x) > 0 also f ' (x) < 0

Also ist der Graph für x>1 streng monoton fallend und deshalb die

Funktion umkehrbar.

Comments

Lnx>0 ist mir klar aber warum ist dann auch die ableitung <0?

Und muss es nicht x>=1 heissen?

Und kannst du mir bitte zeigen wie ich es mit meinem versuch richtig nachweisen kann?

Danke

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Für umkehrbar genügt wohl  f ' (x) < 0 für alle x > 1.

z:b: ist  x^3 auch für x>=0 umkehrbar, aber nur f ' (x) > 0 für x > 0.

Die Abl. ist - ( 2ln(x) + 1 ) / x³

und für x>1 ist 2ln(x) > 0    ( und für x=1 ist ln(1)=0)

also   2ln(x) + 1   > 1

und x^3 ist auch > 1  also der

Quotient    ( 2ln(x) + 1 ) / x³    größer 0, weil Quotient zweier positiver Zahlen

und mit dem Minus davor   < 0.