Ist die Funktion umkehrbar auf ganz R?

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion
f :R→R,x→exp(−7x+3) auf strenge Monotonie.
Ist die Funktion umkehrbar auf ganz R?

Problem/Ansatz: Also ich habe die erste ableitung bestimmt und dadurch gezeigt dass sie streng monoton fallend ist aber was das über umkehrbar aus?

Comments

Die Funktion ist nicht surjektiv.

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gilt aber nicht: Die Funktion f ist in R umkehrbar, wenn sie in R entweder nur streng monoton fallend oder nur streng monoton steigend ist,

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Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedes Argument einen eineindeutigen Funktionwert hat. In anderen Worten, jeder Funktionwert ist mit genau einem Argument verbunden.

Answer 1

Ich gebe Arsinoé4 Recht:

Die Funktion ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv,

also existiert keine Umkehrfunktion \(f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\).

Die Corestriktion von \(f\), \(f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_{>0}\)

ist hingegen umkehrbar.

Answer 2

Untersuchen Sie die Funktion f :R→R,x→exp(−7x+3) auf strenge Monotonie.

exp(x) ist streng monoton und

3 - 7x ist ebenfalls streng monoton. Also ist die Verkettung auch streng monoton.

ist die Funktion umkehrbar auf ganz R?

Ja.

y = exp(−7x+3)
LN(y) = 3 - 7x
7x = 3 - LN(y)
x = (3 - LN(y))/7

Comments

Achso, also wenn die Funktion ganz monoton steigend oder fallend ist. dann ist sie umkehrbar? Und wenn es ein punkt gibt in der sich die monotonie ändert dann ist sie in diesem punkt nicht umkehrbar?

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Die Umkehrfunktion scheint nur für positive reelle Zahlen definiert zu sein. Demnach wäre die Funktion nicht auf ganz ℝ umkehrbar.

Answer 3

\(y= e^{-7x+3} \)

Tausch \(x , y\)

\(x= e^{-7y+3} \)

Auflösen nach y:

\(ln(x)=-7y+3 \)

\(7y=3-ln(x) \)

\(y= \frac{3-ln(x)}{7} \)