Zeigen, dass eine Folge in einem Intervall liegt

Question

 

ich hab da mal eine Frage, welche ich demnächst in meiner Mathe Klausur beantworten werden muss.

Ich habe eine rekursiv definierte Folge:

a₀ =1;         a_n+1 = (1+a_n²) / (2+a_n)

Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass jedes Folgeglied in dem Intervall (0,5 ; 1] liegt.

Meine Vorüberlegungen zu dieser Aufgabe:

Induktionsanfang:

Ich habe hier einfach a₀ in die Folge eingesetzt, um zu beweisen, dass es für diesen Wert gilt.

Somit: a₁ = 2/3    E (0,5 ; 1]

Induktionsannahme: Behauptung wahr, für beliebiges, aber festes n E N_0. (wurde uns so in der VL beigebracht.)

Induktionsschluss: n -> n+1

Somit: (1+a_n+1²) / (2+a_n+1) = (1+a_n²) / (2+a_n)

Ab diesem Zeitpunkt weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll, um eben zu zeigen, dass jedes Folgeglied in dem oben gegenbenen Intervall liegt. Ich hoffe Ihr konnt mir weiterhelfen.

Answer 1

Du weißt ja,dass a_n im Intervall (0,5, 1 ] ist.

Also 0,5 <a_n<= 1 

Betrachten wir doch mal  :
(1+a_n²) / (2+a_n)

a_n² <=a_n ist für dein Intervall (0,5 ,1 ]

Da der dein Zähler und Nenner aufgrund der Bedingungen ,auf jeden Fall größer als 1 sind,kannst du folgendes sagen :

(1+a_n²) / (2+a_n) ist für a_n² =a_n  maximal ,also durch :

(1+a_n) / (2+a_n) nach oben beschränkt. Das ist im Fall a_n = 1 also nach oben beschränkt durch :

1+1/2+1 = 2/3

Das ist kleiner als 1.

Von unten beschränkt ist 

(1+a_n²) / (2+a_n) in dem Fall,dass a_n^2 minimal ist. Da wir auch hier wissen in welchem Intervall a_n liegt(aufgrund der InduktionsVoraussetzung ) können wir eine untere Grenzen von:

(1+a_n²) / (2+a_n) bestimmen:

min ( (1+a_n²) / (2+a_n) ) = limes (1+a_n²) / (2+a_n) für an gegen 0,5.

Schaffst du es weiter?

Comments

Tut mir leid, ich steh bei dem unteren Teil deiner Ausführung ein wenig auf dem Schlauch.

Ich hatte aber gerade selber einen vielleicht gar nicht so unwichtigen Einfall.

Letztendes hab ich im Induktionsanfang gezeigt, dass es für (1+a_n²) / (2+a_n) gilt, richtig?

somit müsste ich im Induktionsschluss zeigen, dass das gleiche für (1+a_n+1²) / (2+a_n+1) gilt, richtig?

Das erreiche ich doch, wenn ich beide Folgen gleichsetze und es solange umforme, bis a_n+1 = a_n dasteht oder?

Denn das hab ich gerade gemacht. Jetzt ist meine Frage, ob mein Gedankengang richtig ist.

LG

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Halt Stop! Kommando zurück!

Mein Gedankengang ist Schrott!

Sorry

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Naja die untere Grenze ist ja 0,5! 

Also, wenn a_n=0,5, dann ist die Folge auch 0,5?! Aber 0,5 müsste ja ausgeschlossen sein oder?

LG

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Also meine Ausführung hast du jetzt verstanden?
für an=0,5 ist das nächste Glied auch 0,5. Deswegen sage ich ja, betrachte den lim davon.

Die Folge konvergiert für an gegen 0,5 gegen 0,5. Da an aber den Wert 0,5 nicht annehmen kann, so ist 

0,5 das infmum der Folge.

Daraus folgt?

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Die Folge konvergiert für an gegen 0,5 gegen 0,5

Was für eine Weisheit !

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"Die Folge konvergiert für an gegen 0,5 gegen 0,5

Was für eine Weisheit !"

Ja so ist es:

Die Folge :
(1+a_n²) / (2+a_n)
konvergiert für an gegen 0,5 gegen 0,5.

Ich glaube du hast das falsch verstanden vorher :D

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Beachte, dass für a_n  gegen 7 die Folge gegen 7 konvergiert.

Ich hoffe, dass du das verstehst.

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Das verstehe ich nicht?

(1+49)/(2+7) = 5,556

Also stimmt deine Aussage nicht.

Ich weiß nicht,was du Aussagen möchtest damit?

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Dein Satz ist einfach nichtssagend. Wenn du voraussetzt, dass eine Folge einen Grenzwert a  (z.B.  a = 0,5 oder eben auch  a = 7 ) hat, dann gehört nicht sehr viel Scharfsinn dazu, den Grenzwert a zu schlussfolgern.

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Das setze ich doch gar nicht Voraus?
Wo setze ich das deiner Meinung nach den Voraus?

Und wie gesagt, deine Behauptung, stimmt nicht.

Es ging um die Folge:

(1+a_n²) / (2+a_n)

Meinetwegen auch :
b_n : = (1+x^2)/(2+x)

Erkläre mir hier,bitte, dass b_n für x gegen 7  auch gegen 7 konvergiert.

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Das setze ich doch gar nicht Voraus?
Wo setze ich das deiner Meinung nach den Voraus?

Doch, dass tust du, und zwar genau an der von mit zitierten Stelle  "Die Folge konvergiert für an gegen 0,5 gegen 0,5."

Beachte, dass für die Grenzwertbetrachtung zu zeigen ist  : Die Folge konvergiert für n gegen Unendlich (und nicht "für a_n gegen 0,5") gegen 0,5.

Wahrscheinlich liegt das Problem,darin, dass du deine unzulängliche Beweisführung von oben irgendwie zu retten versuchst.

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Wo ist das Problem sofort zu sagen, dass du denkst,dass ich in der Schreibweise einen Fehler gemacht habe ?
Ich habe nie gesagt, dass die Folge, die ich betrachte a_n  heißt.
Ich habe diese Folge überhaupt benannt. Dieses a_n ist in diesem Fall als feste Variable anzusehen. Wie gesagt ,könnte genausogut die Variable x sein.
Ich betrachte nämlich NICHT die Folge:
a_n=  (1+a_n+1²) / (2+a_n+1)

"Beachte, dass für die Grenzwertbetrachtung zu zeigen ist  : Die Folge konvergiert für n gegen Unendlich (und nicht "für a_n gegen 0,5") gegen 0,5. "
Das muss ja noch nicht mal gezeigt werden.

Und zu meiner Beweisführung:
Ist es falsch zu zeigen,das ein Glied im gesuchten Intervall liegt.
Dass man dann von ausgeht,das n-te Glied liegt also auch im Intervall und anschließend wird das (n+1)-te Glied mit Hilfe der InduktionsVoraussetzung betrachtet und durch eine Obere und eine Untere Grenze auf das gesuchte Intervall begrenzt?

Und es wäre einfacher gewesen,mich direkt auf das,was du für falsch Empfindest Aufmerksam zu machen.

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Es geht nicht um Schreibfehler, sondern um inhaltliche Fehler.

Ist es falsch zu zeigen,das ein Glied im gesuchten Intervall liegt.
Dass man dann von ausgeht,das n-te Glied liegt also auch im Intervall und anschließend wird das (n+1)-te Glied mit Hilfe der InduktionsVoraussetzung betrachtet und durch eine Obere und eine Untere Grenze auf das gesuchte Intervall begrenzt?

Das ist sicher eine richtige Idee, die von dir aber nicht richtig umgesetzt wird, weil du nur den Zähler des Bruches betrachtest.

Von unten beschränkt ist 

(1+a_n²) / (2+a_n) in dem Fall,dass a_n² minimal ist.

Das soll doch wahrscheinlich bedeuten, dass du 0,5 < a_n+1 aus der Induktionsvoraussetzung  0,5 < a_n ≤ 1 herleiten willst. Dazu betrachtest du aber nur das worst case scenario für den Zähler, der ja tatsächlich für kleines a_n ebenfalls klein wird. Nun wird aber der gesamte Bruch auch klein, wenn der Nenner groß wird, er kann laut Induktionsvoraussetzung maximal 3 werden, was also die Abschätzung a_n+1 > (1+0,25) / 3 = 5/12  liefert und uns also nichts nützt, weil 5/12 kleiner als 0,5 ist. Du musst also die Gleichheit der a_n im Zähler und Nenner berücksichtigen, darfst aber den Nenner nicht einfach außen vor lassen.

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Okay, das muss ich mir nochmal genauer anschauen.

Es wäre doch jetzt viel produktiver gewesen, wenn du mich direkt darauf hingewiesen hättest, dass ich meine Abschätzung nach unten nicht so machen kann, und zwar genau aus dem von dir genannten Grund.

Ich bin schließlich hier,anderen zu Helfen und,wenn es möglich ist auch selbst was dazu zu lernen.

Da kann man wohl auch etwas Hilfreicher sein,als so in der Art,wie du am Anfang kommentiert hast.

Warten wir erstmal auf eine Rückmeldung vom Fragesteller,sofern mir kein Ansatz zur unteren Grenze einfällt.

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sofern mir kein Ansatz zur unteren Grenze einfällt.

das kann man doch ohne Ansatz einfach durch Äquivalenzumformung nachweisen.

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Indem ich :
a_n+1=  (1+a_n²) / (2+a_n)

Umforme?

Inwiefern?

EDIT:

Aber die Abschätzung von oben kann man so machen?

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Aus der Induktionsvoraussetzung  a_n > 0,5  folgt durch Multiplikation mit a_n ( > 0 ) und Addition von 1 zunächst  a_n² +1 > 0,5a_n+ 1 = 0,5·(a_n+2)  und nach Division durch a_n+2 ( > 0 ) die Behauptung.

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Ah,danke :D

Ist zwar nicht meine Frage,aber hat mich schon interessiert:D

Dass ich darauf nicht gekommen bin ...