eigenvektoren berechnen, wenn nur 0 das gleichungssystem löst

Question

wie berechne ich die eigenvektoren der matrix (-3,1,1),(1,-3,1),(1,1,-3), die eigenwerte hab ich bereits berechnet(-1,-4,-4), allerdings komme ich nicht auf die vektoren, da die einzige lösung des gleichungssystems für alle eigenwerte 0 ist,

Answer 1

DET([-3 - k, 1, 1; 1, -3 - k, 1; 1, 1, -3 - k]) = 0

- k^3 - 9·k^2 - 24·k - 16 = 0

k = -4 ∨ k = -1

[-3 - k, 1, 1; 1, -3 - k, 1; 1, 1, -3 - k]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

[-3 - (-4), 1, 1; 1, -3 - (-4), 1; 1, 1, -3 - (-4)]·[a; b; c] = [0; 0; 0] --> a = - b - c

[-3 - (-1), 1, 1; 1, -3 - (-1), 1; 1, 1, -3 - (-1)]·[a; b; c] = [0; 0; 0] --> a = c ∧ b = c

Eigenvektoren zum Eigenwert -4 sind [- b - c; b; c].

Eigenvektoren zum Eigenwert -1 sind [c; c; c].

Answer 2

Dann sind entweder die Eigenwerte falsch berechnet oder
bei der Lösung des Gleichungssystems ist was schief gegangen.

Bei matrix * x = -1*x  (also für Eigenw. -1 bekomme ich die Matrix
1    -1/2     -1/2       0
0      1         -1        0
0      0          0          0

also ist x3 frei wählbar sagen wir mal t und
x2 = t   und   x1 -1/2 *t      -1/2 *t = 0 gibt    x1 = t
also hier Eigenvektoren der Form (t ; t; t ) =  t*(1;1;1)
Damit ist (1;1;1) eine Basis des Eigenraumes.

und bei der -4 gibt es sogar
1    1     1      0
0      0    0     0
0     0    0      0
also 2 Komponenten frei wählbar gibt einen 2-dim Eigenraum