Grenzwert: lim (2/(x(e^x-1)) - 2/x^2 + 1/x)

Question

ich soll mit Hilfe von L'Hospital ein Grenzwert berechnen. Nur komme ich da nicht so weiter.
$$\underset { x->0 }{ lim } \frac { 2 }{ x({ e }^{ x }-1) } -\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ x } $$
$$=\frac { { 2x }^{ 3 }-{ 2x }^{ 2 }{ e }^{ x }-{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+{ 2x }^{ 2 }+{ x }^{ 3 } }{ { x }^{ 4 }({ e }^{ x }-1) } $$$$\doteqdot \frac { { 6x }^{ 2 }-{ 4x }{ e }^{ x }-2{ x }^{ 2 }{ e }^{ x }-{ 3x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+4x+{ 3x }^{ 2 } }{ { 4x }^{ 3 }({ e }^{ x }-1)+{ x }^{ 4 }{ e }^{ x } } $$$$=\frac { { 9x }^{ 2 }-{ 4x }{ e }^{ x }-{ x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+4x }{ { 4x }^{ 3 }({ e }^{ x }-1)+{ x }^{ 4 }{ e }^{ x } } $$$$\doteqdot \frac { { 18x }-{ 4 }{ e }^{ x }+4{ x }{ e }^{ x }-2{ x }{ e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ 3 }x^{ 2 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+4 }{ { 12x }^{ 2 }({ e }^{ x }-1)+{ 4x }^{ 3 }{ e }^{ x }+{ 4 }x^{ 3 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 4 }{ e }^{ x } } $$$$=\frac { { 18x }-{ 4 }{ e }^{ x }+2{ x }{ e }^{ x }+{ 4x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+4 }{ { 12x }^{ 2 }({ e }^{ x }-1)+{ 8x }^{ 3 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 4 }{ e }^{ x } } $$$$\doteqdot \frac { { 18 }-{ 4 }{ e }^{ x }+2{ e }^{ x }+{ 2x }{ e }^{ x }+{ 8x }{ e }^{ x }+4{ x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ 3x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 3 }{ e }^{ x } }{ { 24x }({ e }^{ x }-1)+{ 12x }^{ 2 }{ e }^{ x }+{ 24x }^{ 2 }{ e }^{ x }+8{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+4{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }+{ x }^{ 4 }{ e }^{ x } } $$
sorry für den langen Schritt. Doch wenn ich jetzt gegen 0 laufe dann habe ich 14/0 und das kann doch nicht richtig sein. Kann mir einer sagen wo der Fehler liegt?
Gruß
Anderlin

Answer 1

"sorry für den langen Schritt" -> Warum sorry? Im Gegenteil! Lob an dich für die Mühe

Du hast leider direkt in der ersten Umformung ein Vorzeichenfehler: Im Zähler müsste am Ende \(-x^3\) stehen. Weiter habe ich dann nicht mehr geschaut.

Tipp an dich: \(x^2(e^x-1) \) reicht doch schon als Hauptnenner. Dann ist das ganze zwar immer noch relativ lang im Ausdruck (man muss auch öfters l'Hospital anwenden) aber doch erheblich weniger unterschiedliche Terme zu handhaben.

Gruß

Comments

Oh man, danke. Ich werde das sofort neu machen :-)

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Kein Thema, lass dich von der anderen Antwort nicht irritieren. Der Grenzwert existiert.

Zur Kontrolle: Er ist \(\frac{1}{6} \)

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Nach dem ich gemerkt habe was für ein Unsinn ich da gemacht habe, bin ich trotzdem nicht sehr weit gekommen.

$$\frac { { 2x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }{ e }^{ x }-{ x }^{ 3 }{ e }^{ x }-2{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 } }{ { x }^{ 4 }({ e }^{ x }-1) } $$

kürzen

$$=\frac { x-2{ e }^{ x }-x{ e }^{ x }-2 }{ { x }^{ 2 }({ e }^{ x }-1) } $$

$$\doteqdot \frac { 1-2{ e }^{ x }-{ e }^{ x }-x{ e }^{ x } }{ 2{ x }({ e }^{ x }-1)+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } =\frac { 1-3{ e }^{ x }-x{ e }^{ x } }{ 2{ x }({ e }^{ x }-1)+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } $$

$$\doteqdot \frac { -4{ e }^{ x }+x{ e }^{ x } }{ 2({ e }^{ x }-1)+{ 4x }{ e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } $$

habe mich jetzt wieder festgefahren. Durfte man vielleicht so nicht kürzen?

Gruß

Anderlin

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ich merke grade, dass ich schon nach der ersten Ableitung nicht ableiten durfte.

Ok noch mal alles von vorne.

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JUHU!!! Jetzt habe ich es.

nach dem ich jetzt alles richtig auf ein Bruch und richtig gekürzt habe kommt das raus.

$$\frac { x-2{ e }^{ x }+2+x{ e }^{ x } }{ { x }^{ 2 }({ e }^{ x }-1) } \doteqdot \frac { 1-{ e }^{ x }+x{ e }^{ x } }{ 2x({ e }^{ x }-1)+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } $$

$$\doteqdot \frac { x{ e }^{ x } }{ 2({ e }^{ x }-1)+{ 4x }{ e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } \doteqdot \frac { { e }^{ x }+x{ e }^{ x } }{ 2{ e }^{ x }+{ 4 }{ e }^{ x }+{ 2x }{ e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ x } } $$

$$\underset { x\rightarrow 0 }{ \longrightarrow  } \frac { 1+0 }{ 2+{ 4 }+0+0 } =\frac { 1 }{ 6 } $$

Danke noch mal. Ich würde noch 1000 Jahre sitzen.

Gruß

Anderlin

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Kein Thema, du hast ja die ganze Arbeit selbst gemacht ;)

Answer 2

Der Grenzwert der Funktion existiert nicht. Bzw. der limes für x->0 = unendlich.

Das hast du doch auch raus in deiner Rechnung.

Rechenfehler in der Ableitung habe ich jetzt mal nicht überprüft.