Zunächst einmal berechnen wir die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion:
$$ N'(t)=50\cdot \left( 0,2-0,4\cdot 2t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }=50\cdot \left( 0,2-0,8t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }=\left( 50\cdot 0,2-50\cdot 0,8t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }=\left( 10-40t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } } $$
$$ N''(t)=-40\cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }+\left( 10-40t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } } \\ ={ e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -40+\left( 10-40t \right) \right) ={ e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -30-40t \right) $$
$$ N'''(t)={ e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -40 \right) +\left( -30-40t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } } \\ ={ e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -40+\left( -30-40t \right) \right) ={ e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -70-40t \right) $$
Nullstellen:Für die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktion gleich 0 setzen und schauen, für welche t die Gleichung erfüllt ist. In diesem Fall liegen keine Nullstellen vor, da \( 50≠0 \) ist und die e-Funktion ebenfalls niemals Nulll werden kann.
Extremstellen:Dazu schaust du dir die erste Ableitung an und setzt sie gleich 0.
$$ \left( 10-40t \right) \cdot { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }=0 $$
Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Diese Gleichung ist also nur dann erfüllt, wenn \( t=1/4 \) ist, da die e-Funktion wie bereits erwähnt nie Null werden kann. Jetzt müssen wir überprüfen, ob an dieser Stelle auch wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Dazu setzen wir \( t=1/4 \) in die zweite Ableitung ein und schauen, ob wir ein positives oder negatives Ergebnis erhalten.
$$ { e }^{ 0,2 \cdot 0,25 -0,4 \cdot { 0,25 }^{ 2 } }\cdot \left( -30-40 \cdot 0,25 \right)={ e }^{ 0,05 -1/40 }\cdot \left( -40 \right) $$
Unser Ergebnis ist auf jeden Fall kleiner als Null, da die Werte der e-Funktion immer positiv sind und wir mit \(-40\) multiplizieren. Somit liegt hier also ein Hochpunkt vor. Wäre das Ergebnis positiv gewesen, so hätten wir einen Tiefpunkt.
Wendestellen:Dazu schaust du dir die zweite Ableitung an und setzt sie gleich 0.
$$ { e }^{ 0,2t-0,4{ t }^{ 2 } }\cdot \left( -30-40t \right)=0 $$
in Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Diese Gleichung ist also nur dann erfüllt, wenn \( t=-3/4 \) ist, da die e-Funktion wie bereits erwähnt nie Null werden kann. Jetzt müssen wir überprüfen, ob an dieser Stelle auch wirklich ein Extrempunkt vorliegt. Dazu setzen wir \( t=-3/4 \) in die dritte Ableitung ein und schauen, ob wir ein positives oder negatives Ergebnis erhalten.
$$ { e }^{ 0,2 \cdot (-3/4)-0,4 \cdot { (-3/4) }^{ 2 } }\cdot \left( -70-40 \cdot -0,75 \right)={ e }^{ 0,2 \cdot (-3/4)-0,4 \cdot { (-3/4) }^{ 2 } }\cdot \left( -40 \right) $$
Ich habe den Exponenten bei der e-Funktion nicht berechnet, da er keine Rolle spielt. Unser Ergebnis ist auf jeden Fall kleiner als Null, weswegen die Funktion vor dieser Stelle linksgekrümmt ist und danach rechtsgekrümmt. Wäre unser Ergebnis positiv gewesen, so wäre sie vor dieser Stelle rechtssgekrümmt und danach linksgekrümmt.
y-Achsenabschnitt:Dazu setzt du einfach für \(t \) Null in die Gleichung rein und schaust, was du als Ergebnis erhältst. Du siehst, dass der Exponent bei der e-Funktion für \(t=0\) Null ist, weswegen deine Gleichung also lautet
$$ N(0)=50\cdot { e }^{ 0,2\cdot 0-0,4{ \cdot 0 }^{ 2 } }=50\cdot { e }^{ 0 }=50\cdot 1=50 $$
Dein y-Achsenabschnitt ist also 50.
Ich hoffe, dass ich mich nirgendwo verrechnet habe :)
