Rotationsvolumen um x-Achse f(x) = (2x²-12x+16)/(x²-6x+5)

Question

Die Funktion:

\( f(x) = \frac{2 x^{2}-12 x+16}{x^{2}-6 x+5} \)

Die Nullstellen/Grenzen:

x = 2
x = 4

Die Formel für das Rotationsvolumen:

\( V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f(x))^{2} d x \)

Nach Polynomdivision und Partialbruchzerlegung der Funktion, falls nötig:

\( -\frac{3}{2(x-1)}+\frac{3}{2(x-5)}+2 \)

Ab hier komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, wie ich das Quadrat in der Formel für die Stammfunktion mit einbeziehen kann. Ich kann die Stammfunktion nicht bilden.

Ich würde mich freuen, wenn mir eine Schritt-für-Schritt Herleitung der Stammfunktion gezeigt werden kann. (Partielle Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung und Integralltabellen sind mir nicht fremd).

Hier das Ergebnis für die Stammfunktion von f²(x): https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+f%28x%29+%3D+%28%282x%C2%B2-12x%2B16%29%2F%28x%C2%B2-6x%2B5%29%29%C2%B2

und das Rotationsvolumen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=revolution+of+f%28x%29+%3D+%282x%C2%B2-12x%2B16%29%2F%28x%C2%B2-6x%2B5%29+from+x%3D2+to+4+about+the+x-axis

Answer 1

ich hab mal Dein Integral berechnet , so geht es .wenn ich mich nicht verrechnet habe:

(mit der Einsetzmethode)

Wer stellt solche Aufgaben?

:-)

Comments

die restlichen 4 Integrale sind ja einfach zu berechnen.

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1. Vielen Dank für die Mühe.

2. Habe ich es nach deiner Methode gemacht, komme auch zu deinen letzten 2 Gleichungen, kriege aber für A und C andere Werte:
A = -1201/192

C= -139/192

3. Mein Voyage200 und WolframAlpha sehen es dennoch anders:

Mit dem Faktor 4:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions+%28%282x%C2%B2-12x%2B16%29%2F%28x%C2%B2-6x%2B5%29%29%C2%B2

Ohne den Faktor 4: 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions+%28%28x%C2%B2-6x%2B8%29%2F%28x%C2%B2-6x%2B5%29%29%C2%B2

4. Die Aufgabe ist aus einer alten Klausur (Mathe 1 für Ing.)

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Hab das mal mit Polynomdivision gerechnet:

:-)

Bekomme jetzt nach der 1. Methode folgende Werte: A= (-201)/32 und C=(-23)/32.

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Super!
Sehr vielen Dank!
Habe es auch gerade unabhängig von deiner Lösung selbst gemacht, und da kommt dasselbe raus! :-)
In deinen letzten 2 Zeilen hast du nur versehentlich aus dem Faktor 39/8 3/8 gemacht. ;)

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stimmt ein Abschreibfehler

bei der Aufgabe , denke das wird in der Prüfung wohl keiner richtig rechnen?

:-)

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Das wird wohl keiner zeitlich schaffen. Ich probiere es gerade mit Integraltabellen (die sind in der Prüfung zugelassen). Das geht weitaus schneller. :)