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Aufgabe:

Gegeben ist ein Dreieck:

Kathete a:10 cm ; Fehler bei der Messung 3%

Kathete b:15 cm ; Fehler bei der Messung 2%

Ziel ist es den absoluten bzw. relativen Fehler zu berechnen, der bei der Ermittlung der Hypotenuse entsteht.


Folgende Formel habe ich im Internet gefunden:

\( \Delta c \approx\left|\frac{\partial c}{\partial a} \Delta a\right|+\left|\frac{\partial c}{\partial b} \Delta b\right| \)

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Weißt du was eine partielle Ableitung ist und wie man von relativen Fehlern auf absolute Fehler kommt und umgekehrt?

Danke erst einmal für dein Hilfe:) Wie man von relativen auf absoluten Fehler kommt weiß ich nicht, partielle Ableitungen sollte ich hinbekommen, verstehen aber nicht was ich wie ableiten muss/soll?

Hmm, sind die Kathetenangaben denn die gemessenen Werte oder die richtigen Werte?

Woher genau stammt die Aufgabe? (Schulbuch, Uni,...)?

An sich kannst du die Hypotenuse \(c\) ja als Funktion \( c(a,b)\) der Kathetenlängen \(a\) und \(b\) darstellen.

Die Kathetenangaben sind die gemessenen Werte (beinhalten also die Fehler ). Die Aufgabe ist eine Uni-Aufgabe, und die Darstellung c(a,b) müsste so wich es verstehe in der Formel die ich angegeben habe beinhaltet sein, aber wie ich jetzt von da auf relativen und absoluten Fehler komme ist mir schleierhaft?

Müsst ihr dazu nicht was in eurem Skript stehen haben?

Ansonsten schau mal hier: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Messabweichung&redirect=no#Quantitative_Angabe

Im Grunde kannst du, insofern die Abweichung die du gegeben hast wirklich nur ein positives Vorzeichen besitzt, auch die wahren Werte der Katheten berechnen. Dann kannst du die wahre Hypotenuse mit der aus den Messungen berechneten Hypotenuse vergleichen (also ohne die ganzen Formeln für Fehlerfortpflanzung).

Im Skript steht etwa 1/4 Seite zu Fehlerrechnung, mit einem Beispiel (dem Idealen-Gasgesetz), welches mir bei der Aufgabe hier nicht besonders viel bring. Könntest du mir eventuell bei dem Ansät helfen?

Gruß

1 Antwort

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Hi,
ich denke der prozentuale Fehler wirkt sich positiv und negativ aus, s.d. die angegebenen Werte für \( a \) und \( b \) als Mittelwerte zu betrachten sind. Die Hypotenuse berechnet sich zu
$$ c(a,b) = \sqrt{a^2+b^2} $$
Zu bestimmen ist der Wert der Hypotenuse für die Werte
$$ c(a + \Delta a, b + \Delta b)  $$ wobei sich \( \Delta a \) und \( \Delta b \) wie folgt berechnen
\( \Delta a = \pm a\cdot 3\% \) und \( \Delta b = \pm b\cdot 2\% \)
Als Approximation für \( c(a + \Delta a, b + \Delta b) \) wird eine Taylorreihe 1'-ter Ordnung genommen, die sieht so aus
$$ c(a + \Delta a, b + \Delta b) = c(a,b) + \frac{\partial}{\partial a} c(a,b)\cdot \Delta a + \frac{\partial}{\partial b} c(a,b)\cdot \Delta b $$ und der Fehler bzgl. der Hypothenise auf Grund der Messwessfehler ist
$$ \Delta c(a,b,\Delta a, \Delta b) = c(a + \Delta a, b + \Delta b) - c(a,b) = \frac{\partial}{\partial a}c(a,b)\cdot \Delta a + \frac{\partial}{\partial b}c(a,b)\cdot \Delta b $$
Es gilt $$ \frac{\partial}{\partial a}c(a,b) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ und
$$ \frac{\partial}{\partial b}c(a,b) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}  $$
Durch einsetzten der Werte erhält man
$$ c(a + \Delta a, b + \Delta b) = 18.444  $$ und für
$$ c(a - \Delta a, b - \Delta b) = 17.612  $$
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