Begründungsaufgabe: ''Nahrungsmittelhersteller''

Question

Schönen Abend ! :)

Hier die Aufgabe:

Ein Nahrungsmittelhersteller möchte ein Produkt in zylinderförmigen Konservedosen mit 850ml Inhalt verpacken.

1)
Wie muss der Durchmesser und die Höher der Dose gewählt werden, damit der Materialbedarf für die Verpackung möglichst gering ist? ( Dabei soll die Kreisfläche A = π*r² und der Kreisumfang u = 2π*r beachtet werden. 1ml entspricht 1cm³)

2)
Aus Stabilitätsgründen muss das Material des Dosenbodens bzw. Dosendeckels doppelt so dick sein wie an der Zylinderwand. Beschreibe, wie diese Forderung die Form der Dose beeinflusst.

Answer 1

Du hast gegeben A = 850ml

Es gilt : A = π*r²*h     (1)

Der Materialbedarf ergibt sich aus den Kreisflächen oben und unten und der Mantelfläche des Zylinders.

Also
Materialbedarf= 2* π*r²*+ 2πr*h

Formen wir (1) um :
h=850/ (π*r²)

Wir setzen h jetzt ein :

2* π*r²*+ 2πr* 850/ (π*r²) = 2* π*r²*+ 2*850/r = M(r)

Davon bilden wir jetzt die Ableitung :

M'(r)= 4πr -1700/(r^2)

Setzen wir = 0 .

0 = 4πr^3-1700

1700/4π = r^3

r= 5.1335

Setze r in (1) ein  und du erhältst dein h.

Comments

:) Das war so die Aufgabe wo ich irgendwie keinen Ansatz fand. Schöne,klare Erklärung! :)
Noch eine Frage: Wie ist die Aufgabe 2 zu lösen? Hab da auch keine Idee wie die Form der Dose dadurch beeinflusst werden kann.

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Weiß leider nicht,worauf man da hinaus möchte.