Aufgabe:
Gegeben seien \( f, g:[a, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \), so dass \( f \) und \( g \) für jedes \( x>a \) auf \( [a, x] \) integrierbar sind. Zeigen Sie:
a) \( f \) ist über \( [a, \infty[ \) genau dann uneigentlich integrierbar, wenn zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( x_{0}>a \) existiert, so dass
\( \left|\int \limits_{x}^{y} f(t) d t\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } y>x>x_{0} \)
b) Gilt \( |f(x)| \leq g(x) \) für alle \( x \geq a \) und ist \( g \) über \( [a, \infty[ \) uneigentlich integrierbar, so sind \( f \) und \( |f| \) über \( [a, \infty[ \) uneigentlich integrierbar und es gilt
\( \left|\int \limits_{a}^{\infty} f(t) d t\right| \leq \int \limits_{a}^{\infty}|f(t)| d t \leq \int \limits_{a}^{\infty} g(t) d t \)
Dieselben Aussagen gelten mutatis mutandis für uneigentliche Integrale der Form \( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x \) für geeignete Funktionen \( \left.f:\right] a, b[\rightarrow \mathbb{R} \).
