uneigentliche Integrierbarkeit überprüfen

Question

ich bräuchte wiedermal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

1. 1. Prüfe uneigentliche Int.barkeit von log(sin(x)) auf (0, π/2) 

      wie muss ich hier vorgehen?

Comments

Das Verhalten von sin(x) um x = 0 kann durch x angenähert werden.

Damit hätte man dort LN(x) und das wäre integrierbar.

So würde ich mir das zumindest in meinem jugendlichen Leichtsinn versuchen zu erklären.

Answer 1

Leider (oder vielleicht auch zum Glück) folgt die Mathematik nicht immer dem jugendlichen Leichtsinn. :D

Ordentlich begründen könnte man das mit einer kleinen Abschätzung: Auf \((0,\frac\pi 2)\) gilt \(|\log(\sin(x))| \leq -\log\left(\frac 12x\right)\); und letzteres ist auf \((0,\frac\pi 2)\) uneigentlich integrierbar.