Ich werde euch folgende Dinge versuchen zu erklären:
- Allgemeines
- die Normalparabel
- allgemeine Form einer quadratischen Funktion
- Nullstellenberechnung mittels pq-Formel
- Scheitelpunktberechnung/Scheitelpunktform
- faktorisierte Form einer quadratischen Funktion
- Satz des Vieta
- Woran erkennt man was?
Allgemeines
Eine quadratische Funktion beschreibt eine Parabel im Koordinatensystem. Sie hat die Form f(x)=ax²+bx+c (siehe allgemeine Form) und ist achsensymmetrisch. Anwendung finden quadratische Funktionen bei Brücken und Berechnung von Grundstücken.
Die Normalparabel
Die Normalparabel hat die Form y=x². Sie hat ihren Scheitelpunkt am Ursprung (0|0) und die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Die Parabel hat den Streckfaktor 1, d.h. gehst du im Koordinatensystem eine Einheit nach rechts/links, gehst du 1² nach oben, gehst du 2 nach rechts/links musst du 2² nach oben usw.
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet f(x)= ax²+bx+c, wobei a der Streckfaktor und c der Ordinatenabschnitt der Parabel ist. In dieser Form wird eine Parabel meistens angegeben, von dieser Form aus kann man nun die Nullstelle (siehe Nullstellenberechnung mittels pq-Formel) und den Scheitelpunkt (siehe Scheitelpunktsberechnung/Scheitelpunktform) einer Parabel berechnen. Beispielfunktion: y= 2x²+2x-12.
Nullstellenberechnung mittels pq-Formel
Die pq-Formel ist auf quadratische Gleichungen in Normalform anwendbar, d.h. sie müssen die Form x²+px+q= 0 aufweisen. Dazu setzt man die Funktion gleich 0 und dividiert durch den Streckfaktor:
2x²+2x-12= 0 |:2
x²+x-6= 0
Nun haben wir eine quadratische Gleichung in Normalform. Jetzt wenden wir die pq-Formel an:
x1,2 = -p/2 ±√(p²/4 -q)= -0,5 ±√(0,25 +6)= -0,5 ±√(6,25)= -0,5 ± 2,5
L = {-3; 2}
Die Funktion hat
- eine Lösung, falls die Diskriminante (-p²/4 - q) gleich 0 ist
- zwei Lösungen, falls die Diskriminante größer als 0 ist
- keine Lösung, falls die Diskriminante negativ ist (aus negativen Zahlen kann man keine reellen Zahlen als Lösung erhalten).
Der Zusammenhang zwischen quadratischen Gleichungen und quadratischen Funktionen besteht darin, dass die Lösungen einer quadratischen Gleichung die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion sind.
Scheitelpunktberechnung/Scheitelpunktform
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist f(x)= a(x-xs)²+ys, der Scheitelpunkt hat die Koordinaten s(xs|ys). Die Scheitelpunktform erhält man durch quadratische Ergänzung:
0= 2x²+2x-12 |:2
0= x² +x-6 |+6
6 = x² +x
6 = (x +0,5)² - 0,5²
6,25 = (x+0,5)² | -6,25
0 = (x+0,5)² -6,25
y = (x+0,5)^2 -6,25
=> S(-0,5|-6,25)
Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion
Die Faktorisierte Form einer quadratischen Funktion ist f(x)= a(x-x1)(x-x2). Du kannst eine quadratische Funktion in diese Form bringen, indem du die Nullstellen berechnest und einsetzt:
L={-3; 2}
=> f(x)= (x+3)(x-2)
Satz des Vieta
Der Satz des Vieta (Vi-eeeta gesprochen) dient dazu, aus den zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung (welche auch Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion sind) die quadratische Funktion mit a=1 zu berechnen. Beweisen lässt sich der Satz des Vieta mithilfe der pq-Formel:
a) x1+x2= -p
(-p/2 + √(p²/4 -q))+(-p/2 -√(p²/4 -q))= -p
-p/2 +√(p²/4 -q) -p/2 -√(p²/4 -q) = -p
-p/2 -p/2 = -p
-p = -p q.e.d.
b) x1 * x2 = q
(-p/2 +√(p²/4 -q)) * (-p/2 -√(p²/4 -q)) = q
p²/4 -(√(p²/4 -q)²) -(p/2 * √(p²/4 -q)) +(p/2 * √(p²/4 -q)) = -q
p²/4 -p²/4 +q = q
q = q q.e.d.
Woran erkennt man was?
- am Betrag von a erkennt man, ob die Parabel gestaucht (a<1), gestreckt (a>1) oder normal (a=1) ist (hier im Beispiel 2, also gestreckt).
- am Vorzeichen von a erkennt man, ob die Parabel nach oben geöffnet (Vorzeichen positiv) oder nach unten geöffnet (Vorzeichen negativ) ist (hier im Beispiel positiv).
- an der allgemeinen Form erkennt man den Schnittpunkt c mit der y-Achse (Ordinatenabschnitt, hier im Beispiel -12).
- an der Scheitelpunktform erkennt man den Scheitelpunkt der Parabel und man sieht, welche "Linie" die Symmetrieachse der Parabel ist (hier im Beispiel x= -0,5).
- an der faktorisierten Form erkennt man die Nullstellen der Funktion (hier im Beispiel -3 und 2).
So, das war's erstmal so weit zu den quadratischen Funktionen, ich hoffe ich habe (bis auf die Anwendungsaufgaben) nichts vergessen. Ich hoffe, ich konnte einigen hier mit meinen Tipps behilflich sein.
