Ich möchte euch verschiedene Methoden erklären, mit denen man einen Scheitelpunkt bei quadratischen Funktionen bestimmen kann.
METHODE 1
Die erste Methode ist die Standard-Berechnung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Dabei macht man einfach Folgendes:
· "Problem": Du möchtest die Form f(x)= ax²+bx+c in die Form f(x)= a(x-xs)²+ys - also die Scheitelpunktform - bringen.
· Funktion: f(x)= x²+3x+4
• Du musst erstmal die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren, falls die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist. Du hast aber eine Gleichung in Normalform gegeben, somit ist dieser Schritt nicht mehr nötig.
· Nun musst du den Term ohne x ausklammern.
· Anschließend sieht man, dass du ja in der Klammer bereits (a²+2ab) hast. Um nun den Term b² zu ergänzen, einfach die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren.
· Da du ja nicht einfach so etwas dazu fügen darfst, musst du das addierte Quadrat subtrahieren
· Jetzt kannst du die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen. Achtung: Es kommt nie eine dritte binomische Formel vor!
· Nun die Terme ohne x zusammenfassen.
Beispiel:
Gegebene Funktion: f(x) = x²+3x+4
Term ohne x ausklammern: f(x)= (x²+3x)+4
Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und zusammenfassen, also (3:2)² = 1,5² = 2,25, damit f(x)= (x²+3x+2,25)+4
Das addierte Quadrat subtrahieren: f(x)= (x²+3x+2,25)-2,25+4
Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen: f(x)= (x+1,5)²-2,25+4
Terme ohne x zusammenfassen: f(x)= (x+1,5)²+1,75
Scheitelpunktform: f(x)= (x+1,5)² +1,75 => S(-1,5|1,75)
METHODE 2
Bei dieser Methode muss man lediglich die allgemeine Funktionsgleichung gegeben haben. Man kann den x-Wert des Scheitelpunktes wie folgt bestimmen:
xs = (-b)/(2a)
Und warum funktioniert das?
Bei quadratischen Funktionen hat man logischerweise nur ein Extremum - das ist der Scheitelpunkt. Um die Extremstelle zu ermitteln, bildet man die erste Ableitung, setzt diese gleich Null und löst nach x auf:
f(x) = ax² +bx +c
f'(x) = 2ax +b
=> 2ax +b = 0 <=> 2ax = -b <=> x = -b/2a
Um dann den y-Wert zu erhalten, setzen wir einfach die Extremstelle in f(x) ein und ermitteln den dazugehörigen Funktionswert - das ist dann unsere y-Koordinate des Scheitelpunktes.
f(x) = x² +3x +4
=> a = 1, b = 3, c = 4
xE = -b/2a = -3/2 = -1,5
f(-1,5) = 1,75 => S(1,5|1,75)
METHODE 3
Hier muss man die linearfaktorisierte Form gegeben haben. D.h., man hat quasi folgende Form:
f(x) = a·(x-x1)·(x-x2)
x1 und x2 sind dabei die Nullstellen. Nun ist es so, dass die Extremstelle genau zwischen den beiden Nullstellen gibt - die kann man also bestimmen, indem man die Nullstellen addiert und durch 2 teilt. Dann wieder wie bei Methode 2, in die Funktionsgleichung für x einsetzen und den y-Wert ermitteln.
Ich hoffe, dass es einigen Leuten hilft :)
Als Ergänzung ein Scheitelpunkt-Video von Matheretter:
