Im letzten Teil zu den "Vektoren" werde ich euch ein Beispiel vorrechnen. Wer den Teil 1 und Teil 2 noch nicht gelesen hat, der tut dies bitte noch.
e) Beispiel aus dem Mathe-Abitur (GK 20214, Land Berlin)
Hier zunächst die Aufgaben:
Nun die Lösungen. Sie sind alle von mir selbst gerechnet, ich hoffe, dass keine Fehler enthalten sind. Sie sollen lediglich zum besseren Verständnis dienen, damit ihr das mal an ein paar Rechenbeispielen gesehen habt. Allerdings werde ich nur a und b vorstellen, da ich die anderen beiden Aufgaben noch nicht berechnet habe.
Aufgabe 2a)
Hier soll zunächst eine Geradengleichung bestimmt werden. Dazu benötigt man den Stützvektor und den Richtungsvektor. Hier bietet es sich - da man den Punkt A gegeben hat - an, dass man den Ortsvektor des Punktes A als diesen zu nehmen, da diese Gerade laut Aufgabenstellung durch den Punkt A verläuft. Der Vektor ist also $$ \vec{ a } = \begin{pmatrix} 39\\3\\36 \end{pmatrix} $$
Nun fehlt uns noch der Richtungsvektor. Dieser ist bereits gegeben mit der Angabe, dass er IN RICHTUNG dieses Vektors fliegt. Also übernehmen wir einfach diese Angabe: $$ \vec{ b } = \begin{pmatrix} 1\\-3\\-6 \end{pmatrix} $$
Somit ist unsere Gleichung folgende: $$ g:\vec{ x } = \begin{pmatrix} 39\\3\\36 \end{pmatrix} +t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\-6 \end{pmatrix} $$
Nun hat man die Gerade. Zusätzlich steht in der Aufgabe, dass der Punkt M sich in x-y-Ebene befindet - das heißt, dass z=0 sein muss. Es ist uns erlaubt, die Geradengleichung in seine drei "Einzelteile" zu zerlegen:
x = 39 +t
y = 3 -3t
z = 36 -6t
Nun wissen wir ja, dass z=0, das heißt, dass wir in der dritten Gleichung diese Zahl für z einsetzen und so t bestimmen:
$$ 0 = 36 -6t => t = 6 $$
Dieses t setzen wir nun in die anderen beiden Gleichungen ein, um die entsprechende x- und y-Koordinate des Punktes M zu erhalten. So kommen wir dann auf den Punkt
$$ M(45|-15|0) $$
Im dritten Teil von Aufgabe a heißt es, man solle die Geschwindigkeit bestimmen. Zunächst bestimmen wir die Länge des Vektors, der von A nach M geht. Zunächst müssen wir den Vektor selbst bestimmen. Dazu wenden wir "hinten minus vorn" an und kommen auf den Vektor
$$ \vec{ c } = \begin{pmatrix} 6\\-18\\-36 \end{pmatrix}$$
Nun einfach in die Formel einsetzen und wir erhalten:
$$ \sqrt { 6^{2} + (-18)^{2} +(-36)^{2} } = \sqrt { 1656} = 40,7$$
Das sind also 407m. Die Zeit haben wir ebenfalls gegeben, dies sind 10s. Nun in v = s/t einsetzen:
$$v = \frac { s }{ t } = \frac { 407m }{ 10s } = 407\frac { m }{ s } = 147\frac { km }{ h }$$
Aufgabe 2b)
Zunächst ist uns eine Ebene in Koordinatenform gegeben:
$$E: x+y+12z = 326$$
Wir können nun sofort den Normalenvektor ablesen:
$$\vec{ n } = \begin{pmatrix} 1\\1\\12 \end{pmatrix}$$
Den brauchen wir aber erst später. Zunächst muss man den Schnittpunkt von Ebene und Gerade berechnen. Dazu setzt man die Koordinaten aus der Gleichung g für x, y und z in die Koordinatenform der Ebene ein:
$$ (39+t) + (3-3t) +12(36-6t) = 326 $$
$$=> t = 2$$
Nun haben wir t. Dies setzen wir nun in g ein und die Koordinaten, die wir dabei erhalten, sind die Koordinaten des Schnittpunktes S:
$$ S(41|-3|24) $$
Um nun den Neigungswinkel zu berechnen, benötigen wir jetzt die Normale. Folgende Formel gilt:
$$ \sin(α) = \frac { |\vec{ u } * \vec{ n }| }{ |\vec {u}| * |\vec{ n }| }$$
Ausgerechnet ergibt das etwa α = 64,6°.
