+1 Daumen
583 Aufrufe

Aufgabe:

Gegeben seien f,g : [a,[R f, g:[a, \infty[\rightarrow \mathbb{R} , so dass f f und g g für jedes x>a x>a auf [a,x] [a, x] integrierbar sind. Zeigen Sie:

a) f f ist über [a,[ [a, \infty[ genau dann uneigentlich integrierbar, wenn zu jedem ε>0 \varepsilon>0 ein x0>a x_{0}>a existiert, so dass

xyf(t)dt<ε fu¨r alle y>x>x0 \left|\int \limits_{x}^{y} f(t) d t\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } y>x>x_{0}


Ansatz/Problem:

Ich habe die Implikation "=>" bewiesen, allerdings bin ich mir nicht sicher.

Da ff uneigentlich integrierbar ist, folgt, dass limxF(x) \lim_{x} F(x) existiert. Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass für jede Folge (xn)n(x_{n})_{n} in ]a,b[]a,b[ mit limnxn=a \lim_{n}x_{n}=a die Folge (F(xn))n(F(x_{n}))_{n} eine Cauchy-Folge ist.

Sei (xn)n(x_{n})_{n} eine beliebige Folge in ]a,[]a,∞[ mit limnxn=a \lim_{n}x_{n}=a. Außerdem sei ε>0ε>0 und n>mn>m.

Es gilt also ε>0n0Nn,m>n0 : F(xn)F(xm)<ε∀ε>0 ∃n_{0}∈ℕ∀n,m>n_{0} : |F(x_{n})-F(x_{m})|<ε
F(xn)F(xm)=xmxnf(t)dt |F({ x }_{ n })-F({ x }_{ m })|=\left| \int _{ { x }_{ m } }^{ { x }_{ n } }{ f(t)\quad dt } \right|
Sei xn=yx_{n}=y und xm=xx_{m}=x für n>m>n0Nn>m>n_{0}∈ℕ, so folgt
xyf(t)dt<ε \left| \int _{ x }^{ y }{ f(t)\quad dt } \right| < \varepsilon mit y>x>x0y>x>x_{0} mit x0=n0x_{0}=n_{0}

Passt das?


PS: n0]a,[n_{0}∈]a,∞[ muss auch noch gelten, sehe ich gerade.

Avatar von

Mir ist aufgefallen, dass die ersten beiden Sätze nicht stimmen. Ich kann, da ff uneigentlich integrierbar ist, direkt daraus schließen, dass für jede Folge...

Außerdem müsste m>nm>n sein. Das braucht man dann wohlmöglich bei der Rückrichtung.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage