Uneigentlich integrierbar, Cauchy-Folge (mit eigener Idee)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien $f, g:[a, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$, so dass $f$ und $g$ für jedes $x>a$ auf $[a, x]$ integrierbar sind. Zeigen Sie:

a) $f$ ist über $[a, \infty[$ genau dann uneigentlich integrierbar, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ ein $x_{0}>a$ existiert, so dass

$\left|\int \limits_{x}^{y} f(t) d t\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } y>x>x_{0}$

Ansatz/Problem:

Ich habe die Implikation "=>" bewiesen, allerdings bin ich mir nicht sicher.

Da $f$ uneigentlich integrierbar ist, folgt, dass $\lim_{x} F(x)$ existiert. Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass für jede Folge $(x_{n})_{n}$ in $]a,b[$ mit $\lim_{n}x_{n}=a$ die Folge $(F(x_{n}))_{n}$ eine Cauchy-Folge ist.

Sei $(x_{n})_{n}$ eine beliebige Folge in $]a,∞[$ mit $\lim_{n}x_{n}=a$. Außerdem sei $ε>0$ und $n>m$.

Es gilt also $∀ε>0 ∃n_{0}∈ℕ∀n,m>n_{0} : |F(x_{n})-F(x_{m})|<ε$
$$|F({ x }_{ n })-F({ x }_{ m })|=\left| \int _{ { x }_{ m } }^{ { x }_{ n } }{ f(t)\quad dt } \right|$$
Sei $x_{n}=y$ und $x_{m}=x$ für $n>m>n_{0}∈ℕ$, so folgt
$$\left| \int _{ x }^{ y }{ f(t)\quad dt } \right| < \varepsilon$$ mit $y>x>x_{0}$ mit $x_{0}=n_{0}$

Passt das?

PS: $n_{0}∈]a,∞[$ muss auch noch gelten, sehe ich gerade.

Comments

Mir ist aufgefallen, dass die ersten beiden Sätze nicht stimmen. Ich kann, da $f$ uneigentlich integrierbar ist, direkt daraus schließen, dass für jede Folge...

Außerdem müsste $m>n$ sein. Das braucht man dann wohlmöglich bei der Rückrichtung.