Aufgabe:
Gegeben seien f,g : [a,∞[→R, so dass f und g für jedes x>a auf [a,x] integrierbar sind. Zeigen Sie:
a) f ist über [a,∞[ genau dann uneigentlich integrierbar, wenn zu jedem ε>0 ein x0>a existiert, so dass
∣∣∣∣∣x∫yf(t)dt∣∣∣∣∣<ε fu¨r alle y>x>x0
Ansatz/Problem:
Ich habe die Implikation "=>" bewiesen, allerdings bin ich mir nicht sicher.
Da f uneigentlich integrierbar ist, folgt, dass limxF(x) existiert. Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass für jede Folge (xn)n in ]a,b[ mit limnxn=a die Folge (F(xn))n eine Cauchy-Folge ist.
Sei (xn)n eine beliebige Folge in ]a,∞[ mit limnxn=a. Außerdem sei ε>0 und n>m.
Es gilt also ∀ε>0∃n0∈N∀n,m>n0 : ∣F(xn)−F(xm)∣<ε
∣F(xn)−F(xm)∣=∣∣∣∣∣∫xmxnf(t)dt∣∣∣∣∣
Sei xn=y und xm=x für n>m>n0∈N, so folgt
∣∣∣∣∣∫xyf(t)dt∣∣∣∣∣<ε mit y>x>x0 mit x0=n0
Passt das?
PS: n0∈]a,∞[ muss auch noch gelten, sehe ich gerade.