Aufgabe:
Gegeben seien \( f, g:[a, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \), so dass \( f \) und \( g \) für jedes \( x>a \) auf \( [a, x] \) integrierbar sind. Zeigen Sie:
a) \( f \) ist über \( [a, \infty[ \) genau dann uneigentlich integrierbar, wenn zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( x_{0}>a \) existiert, so dass
\( \left|\int \limits_{x}^{y} f(t) d t\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } y>x>x_{0} \)
Ansatz/Problem:
Ich habe die Implikation "=>" bewiesen, allerdings bin ich mir nicht sicher.
Da \(f\) uneigentlich integrierbar ist, folgt, dass \( \lim_{x} F(x)\) existiert. Diese Aussage ist äquivalent dazu, dass für jede Folge \((x_{n})_{n}\) in \(]a,b[\) mit \( \lim_{n}x_{n}=a \) die Folge \((F(x_{n}))_{n}\) eine Cauchy-Folge ist.
Sei \((x_{n})_{n}\) eine beliebige Folge in \(]a,∞[\) mit \( \lim_{n}x_{n}=a\). Außerdem sei \(ε>0\) und \(n>m\).
Es gilt also \(∀ε>0 ∃n_{0}∈ℕ∀n,m>n_{0} : |F(x_{n})-F(x_{m})|<ε\)
$$ |F({ x }_{ n })-F({ x }_{ m })|=\left| \int _{ { x }_{ m } }^{ { x }_{ n } }{ f(t)\quad dt } \right| $$
Sei \(x_{n}=y\) und \(x_{m}=x\) für \(n>m>n_{0}∈ℕ\), so folgt
$$ \left| \int _{ x }^{ y }{ f(t)\quad dt } \right| < \varepsilon $$ mit \(y>x>x_{0}\) mit \(x_{0}=n_{0}\)
Passt das?
PS: \(n_{0}∈]a,∞[\) muss auch noch gelten, sehe ich gerade.
