Aufgabe:
Seien \( V \) ein Vektorraum und \( U, W \) Unterräume von \( V \) mit \( V=U+W \)
Weiter seien \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in U^{m} \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in W^{n} . \) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) eine Basis von \( U \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( W \), so ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( V \)
b) Ist \( \operatorname{dim} V=m+n \) und \( L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=U \) sowie \( L\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=W \), so ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( V \)
c) Ist \( L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=V \), so ist \( U=L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) sowie \( W= \) \( L\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \)
d) Ist \( U \cap W=\{0\} \), und sind \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) linear unabhängig, so ist auch \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) linear unabhängig.
Ansatz/Problem:
a) und d) sind wahr, denke ich. Meine Ideen sind folgende:
Ich hätte wohl besser M statt I holen sollen und N statt J. Aber ändert ja nichts am Beweis ansich. Den Satz, den ich da anngegeben habe, kann man hier auf der 10. Seite nachlesen, wenn man möchte: http://www.mathematik.uni-kl.de/fileadmin/compstoch/lectures/WS2014/GdM1/teil_13.pdf
Bei der d) enthalten ja die linear unabhängigen Familien nicht die 0 oder? Ich muss auch das mit dem \(γ_{k}\) und \(v_{k}\) noch definieren, das mach ich dann noch.
Stimmen die Beweise so?
