Bestimme für Matrizen charakteristisches Polynom und überprüfe auf dia/trigonalisierbarkeit

Question

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Meine Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie für die fünf Matrizen A∈Mat₂ (lF₅) der Form

A=  ( 0    b )

       (1     1)

das charakteristische Polynom und entscheide ob die Matrix diagonalisierbar oder trigonalisierbar ist.

Mein Ansatz:

ich habe jetzt jede der fünf Matrizen aufgestellt und das charakteristische Polynom berechnet.

Beispiel für A₂ :

det(A₂ -λE) =  |  0-λ     2   |

                       | 1       1-λ  |

det(A₂ -λE) = (0--λ)(1-λ)-2

                   = λ² - λ - 2

mit pq-Formel ergeben sich dann folgende Lösungen: x1=2, x2= -1

(Die anderen 4 habe ich Analog dazu "gelöst")

Ich denke dadurch dass ich 2 Lösungen habe ist die Matrix diagonalisierbar, jedoch habe ich für alle 5 Matrizen 2 Lösungen raus, folglich wären dann ja alle diagonalisierbar. Das kommt mir jedoch falsch vor. Des weiteren Frage ich mich wie finde ich denn heraus ob die trigonalisierbar sind, da werde ich aus der Definition aus Wikipedia und unserem Skript einfach nicht schlau.

Ich würde mich über eine hilfreiche Antwort freuen :)

(Falls es eine möglichkeit gibt matrizen im editor auch als matrizen darzustellen wäre ich auch froh wenn jemand den code irgendwie posten kann, dann sieht das nicht so unübersichtlich aus wie hier)

Answer 1

Eine Matrix ist trigonalisierbar, wenn das Charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Deinen Ergebnissen,ist also jede der Matrizzen trigonalisierbar.

Jetzt kommen wir zu Diagonalisierbarkeit.

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar,wenn für jeden Eigenwert der Matrix algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit gleich sind.

Hast du 2 verschiedene Lösungen des char.Polynoms deiner 2x2 Matrix, so hat diese 2 verschiedene Eigenwert. Daraus lässt sich direkt schließen . geo = alg für beide Eigenwerte.

Ist dies nicht der Fall, also hast du 2 mal den selben Eigenwert,so musst du schauen, wieviele Eigenvektoren zu deinem Eigenwert existieren. Gibt es 2 so ist geo= alg . Gibt es nur 1,so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Verstanden? Oder gibt es Probleme bei Begriffen,die ich genannt habe?

Comments

Vorerst Danke für deine schnelle Antwort!

Also die algebraische Vielfachheit wäre ja in diesem Falle (A₂) dann 2, da es ein Polynom 2. Grades ist oder habe ich das falsch verstanden? Und die Geometrische ebenfalls, da es ja 2 verschiedene Eigenwerte gibt. Ich hab da noch so ein bisschen meine Probleme mit der algebraischen und geometrischen VFH.

Daraus folgere ich: geo.VFH = alg. VFH und somit ist die Matrix diagonalisierbar.

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Wichtig ist. es gibt nicht DIE algebraische und geometrische Vielfachheit der Matrix, sondern jeder EINZELNE Eigenwert besitzt eine algebraische und geometrische Vielfachheit .

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist ganz einfach die Häufigkeit des Eigenwertes .

Hast du also z.b. in einer 3x3 Matrix die Eigenwerte 2 ,2 und 3

So gilt alg(2) = 2 und alg(3) = 1

Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der lineaer unabhängigen Eigenvektoren die zu den jeweiligen Eigenwerten existieren.

Eigenvektoren berechnen sich wie folgt :

v=Kern(A-E*λ)   ,wobei E die Einheitsmatrix und Lambda ein Eigenwert ist.

Also ist z.b. ein Eigenwert 2 so bestimmst du den Kern von ( A-E*2)

Falls du nicht weiß,was der Kern ist: Der Kern einer Abbildung/Matrix besteht aus den Vektoren, die die Abbildung/Matrix auf 0 abbilden.

In diesem Fall,dass sind alle Vektoren v für die gilt :

(A-E*λ) * v = 0

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Okay weil das hat mich auch ein wenig irritiert, dann habe ich das mit der algebraischen VFH jetzt verstanden :) ! Danke schonmal dafür.

Also ich bin jetzt soweit dass ich den Eigenvektor v=Ker(A-E*λ) für λ=2 bestimmt habe.

Da det(A₂-E*2) = 0, existiert ein Kern der nicht der Nullvektor ist. Für v habe ich dann v=(1,1) raus.

Nur wie bestimme ich jetzt die Anzahl der linear unabhängigen?

Wenn ich jetzt den zweiten Eigenwert λ=-1 da einsetze erhalte ich det(A₂-E*(-1)) ≠ 0, somit habe ich hier nur den Nullvektor mit dessen Hilfe die Matrix auf 0 abgebildet werden kann.

Darf ich das jetzt wie folgt verstehen?

Da ich nur insgesamt 1 Eigenvektor zu den beiden Eigenwerten gefunden (ausgenommen dem Nullvektor) ist die geometrische VFH = 1? Hätte ich jetzt zu jedem eigenwert λ₁ und λ₂  jeweils einen Eigenvektor gefunden (die beide linear unabhängig sind), dann hätte ich die geo.VFH=2?

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det(A₂-E*2) = 0

Das stimmt aber nicht.

Das musst du auch nicht machen .
Aber einen richtigen Eigenvektor hast du ja.

  |  0     2   |

  | 1       1  |

Nehmen wir deine Matrix als Beispiel.

Dann ist ja A₂-E*2 =

  |  -2     2   |

  | 1       -1 |

Davon bestimmen wir den Kern :
-2 2 = 0
1 -1 = 0
 
<=>
1 -1 = 0
0  0 = 0

Also gilt für einen beliebigen Vektor (x,y), der im Kern liegen soll x = y also ist der Kern:
span (1,1)

Und mit dem Span bezeichne ich alle aus dem gegeben Vektor erzeugten Vektoren a*(1,1).
Du hast einen Vektor im Kern also ist die geometrische Vielfachheit = 1.
Für Lambda= 1 hast du :

Kern von :
1 2
1 2
Also x=-2 y
Damit erhalten wir für den Kern : span( -2 , 1 )

Also auch beim Eigenwert -1 ist geo= 1

Das ganze was wir hier gemacht haben ist in unserem Fall eigentlich unnötig .

Habe das vorher schon erwähnt:
Hat eine nxn Matrix n verschiedene Eigenwerte,dann ist sie diagonalisierbar.
Das liegt daran, da gilt :0< geo <= alg .
Also einen Eigenvektor wirst die auf jeden Fall finden. Aber bei zwei verschiedenen Eigenvektoren maximal 1 . Also findest du genau einen.

Das was du betrachten musst, sind die Fälle ,bei denen du zwei mal den selben Eigenwert hast.
Findest du hier nur einen Eigenvektor, so ist deine Matrix nicht diagonalisierbar.

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Vielen Dank für deine Mühen, ich glaube ich habe das jetzt verstanden.

Also ist A₂ trigonalisierbar weil das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und diagonalisierbar weil ich 2 versch. Eigenwerte der 2x2 Matrix habe.

Eine weitere Frage hätte ich dann aber noch :D

ich habe für A₁ als Eigenwerte λ₁= 1/2*(1+√5), λ₂= 1/2*(1-√5) raus, da wir uns ja im Raum IF₅ befinden ist ja √5=√0=0, also hätte ich dann als Eigenwerte λ_1/2=1/2 raus oder nicht?

Sprich 2 mal den selben Eigenwert, jetzt bleibt für mich doch nur zu prüfen ob es 2 versch. Eigenvektoren gibt. Falls ja ist die Matrix diagonalisierbar, wenn es nur einen gibt, dann nicht, oder?