Wie berechne ich die Schnittmenge von U1 und U2?

Question

Gegeben sei der Vektorraum der Polynome vom Grad \( 3\left(\mathbf{V}=P^{3}\right) \), sowie die Untervektorräume:

\( \begin{array}{l} \mathbf{U}_{1}=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \mid a_{0}+a_{1}+a_{2}=0\right\} \\ \mathbf{U}_{2}=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \mid x_{0}=0 \text { ist doppelte Nullstelle }\right\} \end{array} \)

a) Geben Sie für \( \mathbf{U}_{1} \) und \( \mathbf{U}_{2} \) jeweils die Dimension und eine Basis an.

b) Geben Sie für \( \mathbf{U}_{1} \cap \mathbf{U}_{2} \) die Dimension und eine Basis an.

c) Wie lautet der Dimensionssatz ? Wenden sie ihn auf \( \mathbf{U}_{1} \) und \( \mathbf{U}_{2} \) an und bestimmen Sie für \( \mathbf{U}_{1}+\mathbf{U}_{2} \) die Dimension und eine Basis.

Answer 1

U2 sind die Polynome von der Form a2x^2 + a3x^3    also mit a0=0 und a=0
und in U1 sind alle mit a0+a1+a2=0

also in der Schnittmenge die mit ao=a1=a2=0
also alle mit    a3*x^3

also ist dim=1 und eine Basis ist x^3.

Comments

Wie kommt man auf den Polynom von U2 und U1 ?

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doppelte Nullstelle bei x=0 heißt doch: man kann x^2 ausklammern,

also müssen a0 und a1 gleich Null sein.

Und für U1 stand es doch da: a0+a1+a2=0