Hyperbelfunktion: Cosinus und Sinus hyperbolicus: Formel cosh^2(x) - sinh^2(x)= 1 (x Element ℝ) nachrechnen.

Question

Die Hyperbelfunktionen oder hyperbolischen  Funktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus sind definiert durch:

cosh(x):= 0,5(exp(x) + exp(-x)) und 
sinh(x):= 0,5 (exp(x) + exp(-x))                 ( x Element ℝ.)

a) Bestätigen Sie die Formel
cosh²(x) - sinh² (x)= 1             (x Element ℝ)

b)Zeigen Sie, dass die Funktion sinh:ℝ→ℝ streng monoton wachsend und bijektiv ist, und dass die Umkehrfunktion arsinh:ℝ→ℝ (Areafunktion) stetig ist und gegeben ist durch:
             arsinh(x)=ln(x+√(x² +1))

Comments

Bei einer deiner Definitionen ist noch ein Vorzeichenfehler. Es kann nicht zwei mal + da stehen.

b) findest du zum Grossteil hier: https://www.mathelounge.de/188722/umkehrfunktion-von-sinh

Answer 1

zu b) wurde von Lu bereits ein Hinweis gegeben.

zu a) einfach einsetzen

cosh²(x) - sinh² (x)= 1

Mit cosh(x) = 0,5*(e^x + e^-x) und sinh(x) = 0,5*(e^x - e^-x)

-> (0,5*(e^x + e^-x))² - (0,5*(e^x - e^-x))² =  0,5²*(e^x + e^-x)² - 0,5²*(e^x - e^-x)²

-> 0,25*(e^2x + 2*e^x*e^-x  + e^-2x)  - 0,25*(e^2x - 2*e^x*e^-x  + e^-2x) = 0,25*e^2x + 0,5*e^x*e^-x  + 0,25*e^-2x  - 0,25*e^2x + 0,5*e^x*e^-x  - 0,25*e^-2x  = e^x*e^-x = e^x-x = e⁰ = 1