Potenzen mit gebrochenen Exponenten: (-1/3)·56.99^{4/3}·q^{-4/3} = -1/2 , q=?

Question

Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe, komme einfach nicht auf das Ergebnis und sitze schon Stunden daran.

Ich denke für die Mathegenies ist es simpel, vielleicht könnte mir jemand einfach mal den Weg dorthin vorgeben. Ich will das Ergebnis endlich verstehen.

$$ - \frac { 1 } { 3 } \cdot 56,99 ^ { \frac { 4 } { 3 } } q _ { 1 } ^ { - \frac { 4 } { 3 } } = - \frac { 1 } { 2 } $$

$$ q _ { 1 } = 42,05 $$

Answer 1

Ich bezeichne mal -1/3*56,99^4/3=a

Es ist also a·q₁^-4/3=-1/2

Dividiere nun durch a, so dass q₁ alleine steht.

q₁^-4/3=-1/(2a)

Nun haben wir noch den störenden Exponenten. Setze ein -3/4 dran, um den Exponenten links zur 1 werden zu lassen.

(q₁^-4/3)^-3/4=(-1/(2a))^-3/4

q₁=(-1/(2a))^-3/4

Nun wieder a eingesetzt (dabei habe ich direkt die -1/3 verrechnet):

$$ \left( \frac { 3 } { 2 \cdot 56,99 ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \right) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } = \frac { 3 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } } { 2 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } 56,99 ^ { - 1 } } = \frac { 2 ^ { \frac { 3 } { 4 } } \cdot 56,99 } { 3 ^ { \frac { 3 } { 4 } } } = 42,05 $$

Erster auf zweiter Schritt: Potenz an der Klammer reingeholt -> mit jedem Faktor verrechnet.

Zweiter auf dritter Schritt -> Regel x^-n=1/xⁿ

Rest ist Taschenrechnerarbeit.

Answer 2

(-1/3) * 56.99^ (4/3) * q^ (-4/3) = -1/2                   |*q^ (4/3)     ; : (-1/2)

2/3 * 56.99^ (4/3) = q^ (4/3)              |^ (3/4)

(2/3 * 56.99^ (4/3) )^ (3/4) = q

(2/3)^ (3/4) * 56.99 = q

42.0465 = q