Relativer wahrscheinlicher Fehler

Question

ich habe eine ziemlich kniffelige Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekomme.

Wie lautet die Berechnungsformel für den relativen wahrscheinlichen Fehler einer Größe der Form
y = 3x_1³ - 5x₁*x₂ oder zur Übersichtlichkeit anders geschrieben: z = 3x³ - 5xy

Bei additiven Größen addieren sich ja die absoluten Fehler und bei multiplikativen die relativen. Soweit ganz einfach, aber was mache ich mit den Faktoren 3 und 5?

Umgeschrieben wäre es ja y = x₁³ + x₁³ + x₁³ + x₁x₂ + x₁x₂ + x₁x₂ + x₁x₂ + x₁x₂

also habe ich Δy,rel = sqrt ( (3 Δ x₁ / x₁ )² + (3 Δ x₁ / x₁ )² + (3 Δ x₁ / x₁ )² + ... )
Ich komme einfach nicht weiter.

Answer 1

Hi,
so ganz versteht ich nicht was Du meinst und was Du dahin geschrieben hast. Du hast ja eine Funktion
$$ z(x,y) = 3x^3 - 5xy  $$ Wenn Du berechnen willst, wie sich Fehler in \( x \) und \( y \) auf \( z \) auswirken, berechnet man das üblicherweise so:
$$  z(x+\Delta x, y + \Delta y) \approx z(x,y) + \frac{\partial}{\partial x}z(x,y)\cdot \Delta x + \frac{\partial}{\partial y}z(x,y)\cdot \Delta y $$
D.h. $$ \Delta z(x,y) \approx \frac{\partial}{\partial x}z(x,y)\cdot \Delta x + \frac{\partial}{\partial y}z(x,y)\cdot \Delta y  $$
Die Herleitung für den Fehler kann man über die mehrdimensionale Taylorreihe machen.
In Deinem konkreten Fall ergibt sich;
$$  \Delta z(x,y) \approx (9x^2-5y)\Delta x - 5x \Delta y $$

Comments

Vielen Dank, die Möglichkeit der Taylorentwicklung nach x und y mit Abbruch nach der 1. Reihe wurde zwar in der Vorlesung angeschnitten, jedoch nicht ausführlich erklärt. Dass es jetzt so simpel ist, hätte ich nicht gedacht.

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Auch, wenn ich es aufwärme, bin aber gerade per Zufall darauf gestoßen und möchte Irritationen vermeiden: Müsste es nicht im letzten Term "-5x" heißen?

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Ja, da ist mir ein Schreibfehler unterlaufen. Ich korrigiere ihn, danke.