Basis des Vektorraums P3

Question

Welche der folgenden Mengen bildet die Basis des Vektorraums P3?

Von 8 gegebenen Möglichkeiten konnte ich schon 5 ausschließen (zu viele/wenige Elemente, x⁴) folgende bleiben übrig:

a { 1, 1+x², 1+x³, x²+x³ }

b { 1, 1-x, 1+x-x², 1-x+x²-x³ }

c { 1+x, 1+x-x³, x², x²+x³ }

Was ist davon die richtige Antwort (und warum)? Vom Gefühl her würde ich auf b tippen...

Answer 1

a fällt aus, da sie lin.abh. sind
  -2*1   +   1* (1+x^2) + 1*( 1+x^3) = x^2 + x^3

c auch:     (-1)* ( 1+x-x³⁾   + 1*x^2  + 1*(1+x) =  x²+x³
 
b klappt, die sind nämlich lin.unabh,
könnte man durch    a*1 +  b*( 1-x)  + c(1+x-x²) + d*( 1-x+x²-x³) = 0
geht nur für a=b=c=d=0