genau exakt das musste ich auch in Ana I beweisen :)
Ich habs noch im Kopf deshalb kann ichs dir sagen ;)
a) Induktionsanfang für n = 1:
$$ \sum_{k=1}^{1}{k^2} = \frac { 1(1+1)(2+1) }{ 6 } = 1 $$
=> stimmt
b) Induktionsvoraussetzung: Für eine beliebige, aber feste (natürliche) Zahl n ∈ ℕ, n ≥ 1 gilt die Formel.
c) Induktionsschritt: n -> n+1
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{k^2} = \sum_{k=1}^{n}{k^2} +(n+1)^2$$
$$ = \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } +(n+1)^2$$
$$ = \frac { 1 }{ 6 }( n(n+1)(2n+1) )+(n+1)^2$$
$$ = \frac { 1 }{ 6 }( n(2n+1)(n+1) )+(n+1)(n+1)$$
$$ = \frac { ( n(2n+1)+(n+1))\cdot(n+1) }{ 6 }$$
So, weiter komme ich gerade nicht...ich muss mir das nochmal in Ruhe ansehen, wir haben das sehr früh gemacht (ich hab mich damit lange nicht beschäftige da das Studium neben der Schule nicht möglich war)...Am Ende muss jedoch raus kommen (wenn ich mich jetzt nicht komplett verrechnet habe):
$$ \sum_{k=1}^{n+1}{k^2} = \frac { ((2n+2)+(n+2))\cdot(n+1) }{ 6 }$$
Ich hoffe, dass mein Ansatz trotzdem gestimmt hat. Ich kann mich nur noch ein Wenig erinnern und hoffe dass es soweit stimmt.
