Monotonie und Umkehrabbildung zeigen

Question

ich bin total verzweifelt bei einer Aufgabe,

Zeigen Sie, dass die Abbildung k : ] -0,5π,0,5π [ → ℝ, x ↦x+2-2tan(x), streng monoton fallend ist und somit eine umkehrabbildung besitzt. Berechnen Sie die Ableitung: (k^-1)'(π/4).

Hab leider keine Ahnung wie ich da dran gehen soll, weil wir das gar nicht besprochen haben :I

lG

Answer 1

Allgemein
[ tan ( x ) ] ´ = 1 + ( tan(x) )^2

f ( x ) = x + 2 - 2 * tan(x)
f ´ ( x ) = 1  - 2 * ( 1 + ( tan(x) )^2 )
f ´ ( x ) = 1  - 2  - 2 *  ( tan(x) )^2 )
f ´ ( x ) = - 1  - 2 *  ( tan(x) )^2 )

Monotonie fallend
- 1  - 2 *  ( tan(x) )^2 ) < 0

Ein Ausdruck im Quadrat ist stets > 0 also ist die
Aussage ist stets wahr.

Hier ein Bildchen