Zeigen Sie: Φ ist die Umkehrabbildung zu ψ.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v1 , ..., vn ) und W ein zu V isomorpher K-Vektorraum. Wir definieren die Abbildungen

Φ : {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus} → {C Basis von W}, f ↦ (f(v1), ..., f(vn))

und

ψ: {C Basis von W} → {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus}, C:= (w1 , ..., wn )↦(K-lineare Abbildung f: V → W mit f(vi ) = wi )

Zeigen Sie:

 Φ ist die Umkehrabbildung zu ψ.

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht so ganz wie ich das zeigen soll.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v1 , ..., vn ) und W ein zu V isomorpher K-Vektorraum.

Stichworte: umkehrabbildung,isomorphismus,basis,vektorraum,körper

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit Basis B = (v₁ , ..., v_n ) und W ein zu V isomorpher K-Vektorraum. Wir definieren die Abbildungen

Φ : {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus} → {C Basis von W}, f ↦ (f(v₁), ..., f(v_n)) 

und

ψ: {C Basis von W} → {f: V → W K-Vektorraum Isomorphismus}, C:= (w₁ , ..., w_n )↦(K-lineare Abbildung f: V → W mit f(v_i ) = w_i )

Zeigen Sie:

(a) Φ ist wohldefiniert, d.h.(f(v₁), ..., f(v_n)) ist eine Basis von W.

(b) ψ ist wohldefiniert, d.h. die lineare Abbildung f ist ein Isomorphismus.

(c) Φ ist die Umkehrabbildung zu ψ.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

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a und b habe ich gezeigt, aber wie zeige ich c?