Ungleichung Fallunterscheidung

Question

bei der Ungleichung x<9/(6-x) kommt bei meiner "Musterlösung" L=( x I x < 6 ∧ x ≠ 3 ) raus.

Bei meiner Rechnung kommt raus x > 3 Λ x < 6.

Ich habe um mit dem Bruch zu multiplizieren 2 Fallunterscheidungen gemacht.

Habe ich richtig gerechnet oder stimmt die "Musterlösung"?

Gruß

Answer 1

Fall 1: x < 6

x < 9/(6 - x)

x·(6 - x) < 9

- x^2 + 6·x - 9 < 0

x^2 - 6·x + 9 > 0

x ≠ 3

Fall 2: x > 6

x·(6 - x) > 9

- x^2 + 6·x - 9 > 0

x^2 - 6·x + 9 < 0

kein weitere Lösung

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Wie kommst du beim ersten Fall auf x ≠ 3?

Bis dahin habe ich alles so da stehen wie du.

Gruß

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x² - 6·x + 9 > 0

Wo sind den bei der Parabel die Nullstellen?

Ich denke bei 3 oder. Also gilt bei x = 3 ist gleich Null und nicht ist größer Null oder?

Wo ist dei Funktion also größer als Null. Überall außer an der Nullstelle.

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Ja, ich habe ein wenig auf dem Schlauch gestanden.

Danke für deine Hilfe, jetzt habe ich es verstanden.

Gruß

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Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist das mit den Fällen, heißt das in unserem Beispiel das die Lösung ist x≠3 und < 6 ?

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Ja, richtig. Im ersten Fall betrachten wir ja alle Zahlen, die kleiner als \(6\) sind. Alle \(x<6\) außer \(x=3\) erfüllen die Ungleichung. D.h. also, dass du durch den ersten Fall weißt, dass alle \(x<6 ∧ x≠3\) die Unleichung erfüllen.
Im zweiten Fall erfüllen überhaupt keine \(x\) die Unleichung, da wir nur alle \(x>6\) betrachten.
Somit ist die Lösungsmenge der Ungleichung, wenn wir alle \(x∈ℝ\) betrachten, ja trotzdem nur \(L=x<6 ∧ x≠3\), da durch den zweiten Fall keine neuen Lösungen hinzukommen.
(Konnte die Klammern { } bei der Lösungsmenge nicht hinzufügen.)

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@toni
Für den Fall
x² - 6·x + 9 > 0  kann umgeformt werden zu

( x - 3 )^2 > 0

Die Aussage trifft für alle x zu, denn jeder Wert ins
Quadrat erhoben ist positiv also > 0.
Außer der 0. Also falls
x - 3 = 0 und x somit gleich 3 ist.

( x - 3 )^2 > 0
ist wahr für : x  ≠ 3