Gedämpftes Pendel - kompletten Weg bis Stillstand bestimmen.

Question

Aufgabe:

Die Ausschläge eines gedämpften Pendels der Länge 2 Meter verringern sich jeweils um 10 %. Zu Beginn wird das Pendel aus seiner Ruhepostion um \( 45^{\circ} \) ausgelenkt. Berechnen Sie den gesamten Weg, den die Pendelspitze von seiner Ruheposition, bis es wieder zum Stillstand kommt, zurücklegt.

Gegeben:

l = 2m
φ₀ = 45*
t = 2π * √(2m/9,8ms^-2) = 2,838 (gerundet)
f = 1/T = 1/2,838 = 0,352 Hz (gerundet)

Wie genau muss ich nun weiter machen? Ich kenne nur folgende Formel:
$$\varphi (t)\quad =\quad { \varphi }_{ a }*sin\left( \sqrt { \frac { g }{ l }  } *t+{ \varphi }_{ 0 } \right) $$
φ_a = Amplitude

Lässt sich mit dieser denn ein Weg berechnen?

Answer 1

Zuerst hat das Pendel von der Ruheposition bis zur Auslenkung von 45° auf dem
Kreis mit dem Radius 2m den Bogen, der zu 45° gehört, zurückgelegt.
Das sind  Kreisumfang / 8 = 2*2m*pi / 8 = pi/2 m.

Also Für den ganzen Weg bei einer Schwingung ohne Dämpfung
4* pi/2 m = 2pi m

Fragt sich, was sich jetzt um jeweils 10% verringert.
Der Winkel, die Auslenkung in seitlicher Richtung oder sogar die
zurückgelegte Strecke. dann wäre das z.B. nach n Schwingungen
nur noch     2pi*0,1^n m
und für das Schwingung bis zum Stillstand (also unendlich oft)

2pi * unendliche reihe mit q=01
also
2pi *  1 / ( 1 - 0,1) = 2pi* 10/9 
und dann noch die anfänglichen pi/2 m  dazu.

Comments

Am Anfang hat das Pendel eine Auslenkung von 45° ,  das sind 100%.

Also ist der Weg  45/100 · π  Meter.

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Die Rechnung von hj211 kann aber nicht so ganz stimmen

r = 2 m
U = 2 * r * π = 2 m * 2 * π = 12.57 m

12.57 m / 360 ° = x / 45 °
x = 1.57 m

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Auslenkung zum Zeitpunkt t=0 auf dem Kreisbogen in Meter:

$$ \frac{45}{360} \cdot 2 \pi \cdot 2m$$

Zusätzlich unnötigerweise noch Prozente mit reinwurschteln ist keine Vereinfachung.

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"Fragt sich, was sich jetzt um jeweils 10% verringert.
Der Winkel, die Auslenkung in seitlicher Richtung oder sogar die
zurückgelegte Strecke."

???

Das ist doch klar, dass bei der gedämpften Schwingung die Amplitude geringer wird.

"2pi * unendliche reihe mit q=01 "

Die Dämpfung verläuft stetig und nicht nach jeder Schwingung in einer Stufe. Daher empfiehlt sich von einer Reihenentwicklung abzusehen und eine Infinitesimalrechnung durchzuführen.

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Aufgabenstellung :

Die Ausschläge verringern sich um 10 %

Darunter verstehe ich den Winkel.
neuer Winkel = alter winkel * 0.9
Da s ( zurückgelegte Strecke der Pendelspitze ) proportional zum
Winkel ist reduziert sich die Strecke auch jeweils um 10 %.

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Die Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig - üblicherweise geht man von einem physikalisch realem Pendel aus, welches kontinuierlich und nicht stufenweise die Amplitude einer Exponentialfunktion folgend vermindert.

$$\delta = \frac {0,1}\tau $$

in die Formel ganz oben einsetzen.

Answer 2

Bei schwacher Dämpfung ist die Eigenkreisfrequenz \( \omega_d \) der Schwingung geringer als ihr Wert \( \omega_0 \) bei ungedämpfter Schwingung. Die Amplitude klingt in einem exponentiellen Zusammenhang mit der Zeit ab, so dass die Schwingung durch

\( y=\hat{y} \mathrm{e}^{-\delta t} \sin \omega_{d} t \)

beschreibbar ist. Dabei heißt \( \delta \) Abklingkoeffizient mit \( \delta >0 \)

Comments

Inwiefern hilft das, auf den Weg  (gerundet ergibt sich  √2 m )  zu kommen ?

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Die gedämpfte Schwingung von 0 bis unendlich integrieren

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Welche Funktion willst du integrieren ?

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Die Funktion, die ich gepostet habe.

Answer 3

Ich habe zwar noch nicht die Lösung aber meiner Meinung nach ist
folgender Sachverhalt gegeben.

Bis das Pendel zum ersten Mal in Ruhelage ist ( Winkel = 0 ° )
hat die Pendelspitze eine Weg von 1.57 m zurückgelegt.
( Siehe meinen Kommentar bei der Antwort von mathef ).

Wieder nach oben verringert sich der Weg auf 1.57 * 0.9 = 1.413 m
Dann kommen die 1.413 m für den Weg nach unten hinzu.

Erneut wieder nach oben 1.413 * 0.9 = 1.2717 m

Insgesamt
1.53 m
+ 2 * ( 1.53 * 0.9 )
+ 2 * ( 1.53 * 0.9 * 0.9 )  usw

Vielleicht kennt einer ja die Formel.

Comments

Die Formel habe ich bereits in meiner Antwort gepostet und dass die Reihenentwicklung Käse ist, habe ich bereits in mathefs Antwort kommentiert.

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Wenn sich jemand von euch mal die Mühe gemacht hätte, den Aufgabentext richtig zu lesen, dann würdet ihr nicht dauernd von Reihensummation reden müssen.
"Ruheposition" ist die Null-Lage : Auslenkung = 0° .
Start ist bei Auslenkung = 45° gegenüber der Ruheposition, dort ist die Geschwindigkeit Null.
Das Pendel kommt "wieder zum Stillstand" im gegenüber liegenden Umkehrpunkt !!
Gesucht ist der Weg von der Ruheposition bis dort hin. 
(Etwa  Links -> Mitte -> Rechts -> Mitte -> Links -> ...  der unterstrichene Weg ist gesucht.)
Der Ausschlag beim ersten "Rechts" ist nur noch 90% des ursprünglichen.

Der gesuchte Weg ist also  0,9·(2π/8)·2m = (45/100)·π m ≈ 1,414 m ( ≈ √2 m ).

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Ich habe das "wieder zum Stillstand" so interpretiert, dass es bei t->infty ausgeschwungen ist.

Der Titel:
kompletten Weg bis Stillstand bestimmen.

lässt diese Annahme entstehen.

Aber wenn es nur eine halbe Schwingung durchläuft, ist es ja kiki einfach !

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Ich denke, dass der Titel des Diskussionsstrangs eine Interpretation des Fragestellers ist, wir uns aber auf den Aufgabentext beziehen müssen (der übrigens vom Aufgabensteller eigentlich als Übung zur Summation einer unendlichen Reihe gemeint gewesen sein mag).

Bei deiner "Lösung durch Integration" musst du doch über eine Geschwindigkeitsfunktion integrieren, um einen Weg herauszubekommen, deshalb meine Nachfrage oben. Außerdem musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, dann die Beträge der einzelnen Integralwerte addieren.

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Der Fragetext bietet offensichtlich jede Menge Möglichkeiten
der Interpretation.
Die Intepretation einmal Ruheposition ( Mitte ) nach rechts  ist natürlich
durchaus möglich aber voll trivial.

Mich wundert das Beharrungsvermögen an einem falschen Rechenweg.
Richtig : 0,9·(2π/8)·2 m =  1.414 m

Dies gleichzusetzen mit (45/100)·π m ≈ 1,414 m ( ≈ √2 m ).
halte ich für nicht richtig. Mit Einheiten geschrieben
(45 ° / 100 % ) ·π * m ist das Wildeste was mir in letzter Zeit
untergekommen ist. Es kommt noch nicht einmal r vor.
Der Wert bleibt für alle Pendellängen derselbe.

Gegenbeispiel
Pendellänge = r = 1 m
Richtig : 0,9·( 2 π / 8) *1 m =  0.707 m
(45 ° / 100 % ) ·π * m = 1.414 m

Nicht bestritten wird 0.9 * 2 * 2 / 8 = 45 /100
Aber aus 45 / 100 ... 45 ° / 100 %  zu machen ist nicht richtig.