Reflexiv-Transitive Hülle Relation

Question

Hi ich habe bei folgender Aufgabe meine Schwierigkeiten. Ich weiß leider nicht so recht was eine reflexiv-transitive Hülle ist und auch nicht wie man darauf kommt.

Bestimmen Sie die Reflexiv-transitive Hülle der folgenden Relationen :

R1 ⊆  ( { 1,2,3,4,5 } x {1,2,3,4,5})

R1= {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1)

Comments

Zunächst kannst du das Problem aufspalten in die Bestimmung der transitiven Hülle, zu der du dann noch alle fehlenden Paare der Form (x,x) ergänzen musst, um auf die reflexiv-transitive Hülle zu kommen.

Die transitive Hülle ist (egal, wie ihr das genau definiert habt) die kleinste transitive Relation, in der R als Teilmenge enthalten ist. Wenn R selbst schon transitiv ist, stimmt diese Menge natürlich mit R überein.

Answer 1

Du musst also bei R1 so viele Paare ergänzen, dass die Rel.
transitiv ist.
R1= {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1) }

mit (1,2) und (2,2) muss also (2,2) aus R1 sein, das ist der Fall, also nix zu ergänzen

mit (1,2) und (2,5) muss also (2,5) aus R1 sein  also (1,5) ergänzen.
so wird es
R2= {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5)  }
also klappen jetzt alle Transitivitätsaussagen, die mit (1,2) beginnen.

nun mit (3,4) beginnen:
mit (3,4) und (4,3) muss also (3,3) aus R1 sein,   also (3,3) ergänzen.
 weitere Transitivitätsaussagen, die mit (3,4) beginnen, gibt es nicht.

also R3= {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5) ,(3,3) }

nun mit (4,3) beginnen:
mit (4,3) und (3,1) muss also (4,1) aus R1 sein,   also (4,1) ergänzen.
mit (4,3) und (3,3) muss also (4,3) aus R1 sein,   ist ok.
mit (4,3) und (3,4) muss also (4,4) aus R1 sein,   also (4,4) ergänzen.

also R4 = {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5) ,(3,3),(4,1),(4,4) }

nun mit (2,2) beginnen:  klappt alles.
nun mit (2,5) beginnen:  klappt alles.
nun mit (3,1) beginnen:
mit (3,1) und (1,2) muss also (3,2) aus R1 sein,   also (3,2) ergänzen.
mit (3,1) und (1,5) muss also (3,5) aus R1 sein,   also (3,5) ergänzen.
also R5 = {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5) ,(3,3),(4,1),(4,4) ,(3,2),(3,5)}
Beginnend mit (1,5) gibt es nichts, bei (3,3) klappt alles und mit
(4,1) beginnend sieht man, dass (4,5) und (4,2) ergänzt werden müssen.
also R6 = {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5) ,(3,3),(4,1),(4,4) ,(3,2),(3,5), (4,5),(4,2)}

Jetzt ist es wohl transitiv.
und für reflexiv fehlen noch (1,1) und (5,5).
Also ist die ref. trans. Hülle
R7 = {(1,2) , (3,4), (4,3) , (2,2), (2,5) ,(3,1), (1,5) ,(3,3),(4,1),(4,4) ,(3,2),(3,5),(1,1),(5,5)}