wie berechne ich die Extremstelle und den Wendepunkt f(x)=-1/24x^4+3/4x^2?

Question

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Extremstelle und Wendepunkt von f berechnen : f(x)=-1/24x⁴+3/4x²

Answer 1

Erste und zweite Ableitung bilden und deren Nullstellen suchen

Answer 2

f(x)= -1/24 * x⁴+3/4 * x²

f ´( x ) = -1/24 * 4 * x^3 + 3/4 * 2 * x
f ´( x ) = -1/6 * x^3 + 3/2 * x

f ´´ ( x ) = -1/2 * x^2 + 3/2

Stellen mit waagerechter Tangente
-1/6 * x^3 + 3/2 * x = 0  | pq-Formel oder
x * ( -1/6 * x^2 + 3/2 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
x = 0
oder
-1/6 * x^2 + 3/2  = 0
1/6*x^2 = 3/2
x^2 = 9
x = ± √ (9)
x = ± 3

Wendepunkte
f ´´ ( x ) = -1/2 * x^2 + 3/2
1/2 * x^2 + 3/2 = 0
1/2 * x^2 = 3/2
x^2 = 3
x = ± √ ( 3)
x = ± √ 3

Prüfung auf Extrempunkte
x = 0
f ´´( 0 ) = -1/2 * 0^2 + 3/2  ( positiv = Linkskrümmung )
x = 0 ist Tiefpunkt

x = ± 3
f ´´( ± 3  ) = -1/2 * (± 3 )^2 + 3/2 
f ´´( ±  3  ) = -1/2 * 9 + 3/2  =  ( negativ = Rechtskrümmung )
x = ± 3 sind Hochpunkte

Alle Angaben ohne Gewähr

mfg Georg