Berechnen Sie, falls existent, die folgenden Grenzwerte: Lim x gegen 1 (x-1)/|(x-1)|

Question

Fragestellung: Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenfalls (ohne Benutzung der Regel von l´Hospital).

Aufgabe:
$$ \lim_{n\rightarrow 1} \frac{n-1}{|n-1|} $$

Wenn ich 1 einsetze, bekomme ich einen unbestimmten ausdruck 0/0.
Habe versucht mit (n+1) zu ergänzen, kam aber nichts hilfreiches raus:
$$ \lim_{n\rightarrow 1} \frac{n^2 -1}{|n^2-1|} $$

Ich vermute mal, das der limes gegen 0 geht, da ich aus dem Zähler kaum etwas anderes als n-1 machen kann.
Nur muss ich es irgendwie hinbekommen, dass ich in den Nenner einsetzen kann.

Danke.

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Mir ist noch ein Lösungsweg eingefallen:

$$ \lim_{n \rightarrow 1} \frac{n(1-\frac{1}{n})}{|n(1-\frac{1}{n})|} $$

hilft mir leider aber auch nicht weiter.

Answer 1

Hi, wegen
$$ \lim_{x\to1} \frac { x-1 }{ \left| x-1 \right| } = \lim_{x\to1} \begin{cases}+1, \text{ falls } x>1\\-1, \text{ falls }x<1 \end{cases}  $$ wird dieser Limes sicher nicht existieren.

PS: Warum steht im Titel x und im Textkörper n?

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Vielen Dank, jetzt weiß ich auch, wie ich es aufschreiben kann.
Was den Titel angeht, habe ich heute den halben Tag Reihen auf Konvergenz untersucht, so habe ich aus versehen von x auf n gewechselt.

Answer 2

Wenn du in der Nähe von 1 bist, bist du bei 1+h mit einem betragsmäßig kleinen
positiven oder negativen h
da ist    f(1+h) =  h / |h| und das -st +1 für h>0 und -1 für h<0, also ex. kein GW.

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Also wir zeigen, dass der limes von links ≠ limes von rechts.

Für lim gegen 0 schreibt man bei uns:

$$ \lim_{n\rightarrow 0+0} \text{für die Annäherung von rechts} \\ \lim_{n\rightarrow 0-0} \text{für die Annäherung von links}$$

Wie könnte ich jetzt das für den n gegen 1 schreiben? Mehrere Varianten fallen mir ein:

$$ \lim_{n\rightarrow 1+0} \text{oder} \lim_{n\rightarrow 1+1} \text{oder} \lim_{n\rightarrow 0+1} $$

Oder gibt es das gar nicht für limes gegen etwas anderes als 0?

Danke.

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Dann wäre hier $$\lim _{ x\rightarrow 1+0 }{ f(n) }$$

für den rechtsseitigen lim.