Wie lautet die Ortskurve aller Wendepunkte von Kt?

Question

folgende Aufgabenstellung:
 
f (x) = (e^{x}-t)^2

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt von Kt für alle t Element von R (+) auf der Kurve mit der Gleichung

y= e^{2x} liegt

Zuerst habe ich die ersten drei Ableitungen gebildet

f'(x)= 2(e^{x}-t)*e^{x}=2ex^2 -2tex
f''(X)= 4ex-2te

Daraus folgt wenn ich f '' (X) = 0 setzte -> x=o,5t   (richtig soweit?)

um den y-Wert zu kriegen setzte ich x in f(x) ein -> (e^{0,5t}-t)^2 = e^{2+0,5t}-t^2

dann stelle ich das x um nach t -> 0,5t= x also t= 2x

und dann einsetzen in y:  

(e^{x}-2x)^{2}

= e^{2+x}-4x

Würde mich freuen wenn da mal jemand drüber schauen kann. Wenn ich generell sowas habe wie (e^{x}-2x)^2 :wie kann ich das vereinfachen? Habe nämlcih das Gefühl, dass ich da wohl nen Fehler gemacht habe :/

also Potenzen potenzieren heißt ja dachte ich die Exponenten addieren...

LG

Comments

Die 2.Ableitung ist
f ´´ ( x ) = 4 * e^{x²} - 2 * t *e^x

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besser

f (x) = (e^x-t)²
f ´( x ) = 2 * ( e^x - t ) * e^x
f ´( x ) = 2 * e^x * e^x - 2 * t * e^x
f ´( x ) = 2 * e^{2x}  - 2 * t * e^x

f ´´ ( x ) = 2 * e^{2x} * 2  - 2 * t * e^x
f ´´ ( x ) = 4 * e^{2x}  - 2 * t * e^x

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Wäre dann die dritte Ableitung f '''X = 8e^{x}-2te^{x} ??

Und allgemein: Wenn ich sowas hab wie 2e^x (e^3x-t) zum Beispiel, wie kann ich das auflösen ? Wie würde ich dann 2e^x * e^3x schreiben? Wäre das 2e^4x? Addiere oder Multipliziere ich die Exponenten dann?

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Was du fast immer falsch machst
( e^term ) ´= e^term * ( term) ´
( e^2x ) ´=  e^{2x} * 2

f ´´ ( x ) = 4 * e^2x  - 2 * t * e^x
f ´´´ ( x ) = 4 * e^2x  * 2  -  2 * t * e^x
f ´´´ ( x ) = 8 * e^2x   -  2 * t * e^x

Addiere oder Multipliziere ich die Exponenten dann ?

addieren

a^1 * a^3 = a * a * a * a = a^4
a^2 * a^4 = a^{2+4} = a^6

Answer 1

f ´´ ( x ) = 4 * e^2x  - 2 * t * e^x

4 * e^2x  - 2 * t * e^x = 0

e^x * ( 4 *e^x - 2 * t ) = 0
4 *e^x - 2 * t = 0
4 * e^x = 2 * t
e^x = t/2
x = ln ( t / 2 )

f ( ln( t / 2 ) = (e^(ln[t/2]) - t)²
f ( ln( t / 2 ) = ( t/2 - t )² = t^2 / 4

W ( ln ( t / 2 )  | t^2 / 4 )

Ortskurve
x = ln ( t / 2 )
y = t^2 / 4

e^x = t / 2
t = 2 * e^x
ort = ( 2 * e^x )^2 / 4
ort =  4 * ( e^x )^2 / 4
ort = (e^x)^2
ort = e^2x

Alle Angaben ohne Gewähr.

mfg Georg

Comments

Ich bin gerade dabei das ganze sozusagen M´mitzurechen und habe nochmal eine Frage bei f(ln(0,5t)) und zwar beim letzten Schritt:
wie kommt man von (0,5t-t)^2 zu t^2 / 4 ???

Tut mir leid dass ich ständig nachfrage, Sie müssen annehmen ich sei ein hoffnungsloser Fall in der Mathmematik, aber ich will es wirklich verstehen !! ;)

Dabke

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet

Tut mir leid dass ich ständig nachfrage, Sie müssen annehmen
ich sei ein hoffnungsloser Fall in der Mathmematik, aber ich will
es wirklich verstehen !! ;)

Es ist noch kein Meister vom Himmel gefallen. Das Erlernen
gehört mit dazu. Also frag.

( 0,5t - t )² zu t² / 4 ???

( 0.5t - 1t ) = (-0.5t)
(-0.5t)^2 = 0.25 t^2

(1/2 * t - 1 * t ) = -1/2 *t
(-1/2 * t )^2 = (-1/2)^2 * t^2 = 1/4 * t^2

mfg Georg

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Okay verstanden :)

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Hier noch die Graphen
rot,grün,blau sind die Funktionen
ocker ist die Ortskurve der Wendepunkte