Charakteristisches Polynom berechnen

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper, und \( V=\operatorname{Mat}(2, K) \) der \( K \) -Vektorraum aller \( 2 \times 2 \) Matrizen. Wir betrachten den Endomorphismus

\( f: V \longrightarrow V, \quad\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{ll} -a & c \\ -b & d \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie für die Körper \( K=\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_{2}, \) ob der Endomorphismus \( f \) diagonalisierbar oder trigonalisierbar ist.

Kann mir jemand eventuell dabei helfen die Matrix aufzustellen, von der ich dann das charakteristische Polynom berechnen kann?

Answer 1

Lösung:

$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0& 0&1 &0 \\ 0&-1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} $$