Wie berechnet man Wendetangenten? f(x)=x^3-3x^2+4

Question

meine Aufgabenstellung ist folgende:

Funktion: f(x)=x³-3x²+4

Diskutieren Sie die Funktion hinsichtlich ihrer Nullstellen, Extremwerte, Art der Extremwerte, Wendepunkte und berechnen Sie die Wendetangenten. Geben Sie die dafür benötigten Ableitungen und Gleichungen an.

Die Nustellen [x₁=2; x₂=-1], die Extremwerte [P(0/4); P(2/0)] und welche Art der Extremwerte (Hochpunkt; Tiefpunkt) habe ich bereits berechnet.

Wie kann ich nun die Wendepunkte bzw. Wendetangenten berechnen?

Liebe Grüße

Answer 1

ich gebe dir mal einen Ansatz:
die Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung deiner Funktion bildest und diese gleich Null setzt.

Willst du die y-Werte, so musst du die x-Werte der zweiten Ableitung in die Funktion einsetzen.

Um die Wendetangenten zu ermitteln, musst du deine x-Werte der zweiten Ableitung in die erste Ableitung einsetzen (So erhältst du die Steigung m).

Grüße

Answer 2

Hi, gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Kennst Du bereits ihre maximal zwei möglichen Extrempunkte, so findest Du ihren immer vorhandenen, einzigen Wendepunkt genau in der Mitte der Extrempunkte, hier wäre der Wendepunkt also \(W(1|2)\).

Allgemein finden sich Wendestellen unter den Nullstellen der zweiten Ableitung.

PS: Tangenten an \(f\) in \((x_0|f(x_0)\) haben (meistens) die Gleichung
$$y=f'(x_0)\cdot x-f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0).$$

Answer 3

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt.

f ( x ) = x³ - 3x² + 4
f ´( x ) = 3 * x^2 - 6 * x
f ´´ ( x ) = 6 * x - 6

Wendepunkt
6 * x - 6 = 0
x = 1

Funktionswert im Wendepunkt
f ( 1 ) = 2

Steigung im Wendepunkt
f ´( 1 ) = -3

y = m * x + b
2 = -3 * 1 + b
b = 5

Wendetangente
y = -3 * x + 5