Welches ist in diesem Raum bezüglich der Addition das neutrale Element? Wie berechne ich das neutrale/inverse Element?

Question

Mit den nachfolgend festgelegten Operationen für \( \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) bildet der \( \mathbb{R}^{2} \) einen Vektorraum:

\( \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2}+1 \end{array}\right), \quad \lambda\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} \lambda x_{1} \\ \lambda x_{2}+\lambda-1 \end{array}\right) \)

a) Welches ist in diesem Raum bezüglich der Addition das neutrale Element?

b) Geben Sie für einen beliebigen Vektor sein inverses Element bezüglich der Addition an.

Answer 1

Ich schreib mal die Komponenten nebeneinander statt untereinander:

um das neutrale Element zu finden, brauchst du ein Element (e1;e2)
das bei der Addition nichts verändert

muss also gelten   (a1;a2) + (e1;e2) =    (a1;a2)

jetzt die linke Seite nach der Vorgabe ausrechnen

( a1+e1 ; a2+e2+1 ) =    (a1;a2)

damit das stimmt, muss für alle a1, a2 gelten

a1 + e1 = a1    und   a2+e2+1 = a2

also muss e1 = 0 und  e2 = -1 sein, dann stimmen beide.

und wenn (b1;b2) das inverse El zu (a1;a2) ist muss ja gelten

(a1;a2) +  (b1;b2) =  (e1;e2) =  ( 0  ;  - 1 )      {s.o.]

also a1 + b1 = 0    und    a2 + b2 + 1 = - 1

also b1 =  - a1   und b2 = - a2 - 1

also das inverse El zu (a1;a2) ist  (  - a1  ,  - a2 - 1 )