Äquivalenzrelation: xRy genau dann, wenn x+y durch 2 teilbar ist

Question

Ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung stimmt. Vielleicht kann mal jemand drübergucken.

Seien x, y ∈ ℤ. Entscheiden Sie, ob die angegebene Bedingung eine Äquivalenzrelation ist.

*** xRy genau dann, wenn x+y durch 2 teilbar ist. ***


Reflexivität: Ja, sei x ∈ ℤ, dann gilt xRx. Bsp: x = 2, 2+2 = 4, 2|4.
Symmetrie: Ja, seien x, y ∈ ℤ, dann gilt xRy und daraus folgt yRx.
                   Bsp: x=1, y=3, 1+3=4, 3+1=4, 2|4.
Transitivität: Ja, seien x, y, z ∈ ℤ, dann gilt xRy und yRz und daraus folgt xRz.
                    Bsp: x=2, y=2, z=6
                            x+y=4  2|4
                            y+z=8  2|4
                            x+z=8  2|4

Answer 1

Reflexivität: Ja, sei x ∈ ℤ, dann gilt xRx.
besser: weil x+x=2x also immer durch 2 teilbar
Bsp: x = 2, 2+2 = 4, 2|4.
Symmetrie: Ja, seien x, y ∈ ℤ, dann gilt xRy und daraus folgt yRx.
denn wenn x+y durch 2 teilbar ist, dann auch y+x , weil es das gleiche ist
                   Bsp: x=1, y=3, 1+3=4, 3+1=4, 2|4.
Transitivität: Ja, seien x, y, z ∈ ℤ, dann gilt xRy und yRz und daraus folgt xRz.
denn wenn x+y durch 2 teilbar dann x+y=2n  also x = 2n -y
und y+z durch 2 teilbar dann y+z= 2m  also z = 2m-y
ist x+z = 2n -y + 2m-y = 2n -2y + 2m = 2*(n+y-m) also durch 2 teilbar.
                    Bsp: x=2, y=2, z=6
                            x+y=4  2|4
                            y+z=8  2|4
                            x+z=8  2|4

Bei den Beweisen musst du allgemein argumentieren. Nur beim Widerlegen
von Aussagen reichen Beispiele