Hi, die Lagrangefunktion muss lauten
$$ L(x_1,x_2,\lambda) = x_1^2 + (x_2 + 1)^2 + \lambda (x_1^2 - x_2) $$
Jetzt müssen die partiellen Ableitung nach \( x_1 \), \( x_2 \) und \( \lambda \) gebildet werden. Das ist das, was Du hingeschrieben hast. Also
$$ \frac{\partial}{\partial x_1} L(x_1,x_2,\lambda) = 2x_1^2 + 2\lambda x_1 $$
$$ \frac{\partial}{\partial x_2} L(x_1,x_2,\lambda) = 2(x_2 + 1) - \lambda $$
$$ \frac{\partial}{\partial \lambda} L(x_1,x_2,\lambda) = x_1^2 - x_2 $$
Die partiellen Ableitungen müssen für einen Extrempunkt Null sein, deshalb sind die Gleichungen
$$ (1) \quad \frac{\partial}{\partial x_1} L(x_1,x_2,\lambda) = 0 $$
$$ (2) \quad \frac{\partial}{\partial x_2} L(x_1,x_2,\lambda) = 0 $$
$$ (3) \quad \frac{\partial}{\partial \lambda} L(x_1,x_2,\lambda) = 0 $$
zu lösen. Das parielle ableiten funktioniert wie das normale ableiten, in dem man die Variablen nach denen man nicht ableitet als Konstanten betrachtet.
Aus (1) folgt \( x_1 = 0 \) oder \( x_1 = -\lambda \).
Aus (2) folgt \( x_2 = \frac{\lambda}{2} - 1\).
Würde \( x_1 = -\lambda \) gelten, folgt aus (3) \( \lambda^2 = \frac{\lambda}{2} - 1 \)
Diese quadratische Gleichung hat aber keine reelle Lösung, also bleibt nur noch \( x_1 = 0 \) als möglicher Kandidat übrig.
Damit ergibt sich aus (3) \( x_2 = 0\)
und aus (2) \( \lambda = 2 \)
also nimmt die Funktion $$ f(x_1,x_2) = x_1^2 + (x_2 + 1)^2 $$ den Wert \( f(0,0) = 0 \) an.
Jetzt muss man noch mit der Hesse Matrix bestimmen, ob es ein Minimum oder Maximum ist.
Dazu bildet man die Matrix
$$ H_\lambda = \begin{pmatrix} L_{x_1,x_1} & L_{x_1,x_2} \\ L_{x_2,x_1} & L_{x_2,x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x_1 + 2\lambda & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ und für das gefundene \( \lambda = 2 \) und für \( x_1 = 0 \) ergibt sich
$$ H_{\lambda=2} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ Diese Matrix ist positiv definit, weil alle Eigenwerte \( > 0 \) sind. Also liegt bei \(x_1 = 0 \) und \( x_2 = 0 \) ein Minimum vor.
