Hallo Manatee,
Die Optimierung nach Lagrange macht sich zu Nutze, dass im Optimum die Hauptbedingung die gleiche Steigung hat wie die Nebenbedingung. Damit ich das besser erklären kann was das bedeutet, forme ich zunächst die Hauptbedingung nach \(y\) um:$$\begin{aligned} G(x,y) &= 2x + 4 \sqrt y \\ 4\sqrt y &= G - 2x \\ 16 y &= (G - 2x)^2 \\ y &= \frac 1{16}(G - 2x)^2 \\ \end{aligned}$$folgender Plot zeigt diese Funktion für verschiedene Werte von \(G\):
~plot~ 30-x;(60 - 2x)^2/16;[[-2|36|-2|20]];(62 - 2x)^2/16;(64 - 2x)^2/16;{29|1} ~plot~
In dem Plot oben ist nach links die Ackerfläche aufgezeigt, die mit Getreide angebaut ist. Nach oben geht die Ackerfläche, die mit Gemüse angebaut ist. Da der Bauer nur 30ha zur Verfügung hat, stehen ihm die Menge an Flächen zur Verfügung, die die Gerade \(y = 30 - x\) beschreibt. Die Gerade ist somit der Ort konstanter Gesamtfläche und die Parabeln - streng genommen nur die linken Äste (!) - sind die Orte konstanten Gewinns. Die linke rote Parabel steht für 60GE, die grüne für 62GE und die rechte lilane Parabel für 64GE. Der Gewinn nimmt also von links nach rechts zu.
Die Nebenbedingung \(N\) hast Du richtig angesetzt zu $$N(x,y) = 30 - x -y $$ Leitet man \(N\) nach \(x\) und \(y\) ab, so ergibt sich ein Vektor in Richtung der Winkelhalbierende der X- und Y-Achse:$$ \nabla_{x,y} N = \begin{pmatrix} \partial N/ \partial x\\ \partial N/ \partial y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -1\end{pmatrix}$$Das ist die Richtung der größten Steigung, was in diesem Fall ja auch anschaulich klar sein sollte. Im Optimum muss nun die Richtung der größten Steigung der Hauptbedingung \(G\) identisch dazu sein. Es ist $$G(x,y) = 2x + 4 \sqrt y \\ \nabla_{x,y}G = \begin{pmatrix} \partial N/ \partial x\\ \partial N/ \partial y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ \frac{2}{\sqrt y}\end{pmatrix}$$Formal sieht die Forderung nach der gleichen Richtung so aus:$$ \nabla_{x,y}G + \lambda \nabla_{x,y} N = 0$$womit wir direkt bei der Ableitung der Lagrange-Funktion wären und die ist in diesem Fall nur genau dann zu erfüllen, wenn die beiden Koordinaten von \( \nabla_{x,y}G\) identisch sind, damit die Steigung in Richtung der Winkelhalbierenden geht - also gilt im Optimum \(2 = 2/\sqrt y\). Das geht nur für \(y=1\); ganz unabhängig vom Wert von \(x\). Und das ist auch der Grund für Dein unerwartetes, aber korrektes Ergebnis
Im Plot sieht man das daran, dass der Graph der Parabeln sich nur bei \(y=1\) an die Nebenbedingung \(30-x\) oder eine ihrer Parallelen anschmiegt.
Gruß Werner
