Bestimmen Sie alle Urbilder von v unter f, d.h. alle x ∈ ℝ5 mit f(x) = v.

Question

Sei \( f: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung
$$ \left(\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}} \\ {x_{5}} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} {-x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}-3 x_{5}} \\ {2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+3 x_{4}} \\ {-3 x_{1}+2 x_{2}-4 x_{4}-4 x_{5}} \end{array}\right) $$
und sei \( v \in \mathbb{R}^{3} \) der Vektor
$$ v=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {7} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie alle Urbilder von \( v \) unter \( f, \) d. h. alle \( x \in \mathbb{R}^{5} \) mit \( f(x)=v \)

Comments

Tipp:

Mache aus der Frage ein LGS mit drei Gleichungen. Die Zeilen der Matrix der Reihe nach mit 2, -1 und 7 gleichsetzen.

Answer 1

M sei die gegebene Matrix, x der 5-dim. Vektor, v der 3-dim.

Löse Mx=v

\( \begin{pmatrix}-1& 2 &4& 3& -3& 2 \\ 0 &3 &9 &9& -6 &3 \\ 0& 0& 0& -1& -3& 5\end{pmatrix} \)

Rücksub:

X₅ ∈ ℝ beliebig (Man könnte auch t schreiben.)

x₅ = x₅

x₄=-5-3x₅

x₃=x₃ ∈ ℝ beliebig (Man könnte auch r schreiben.)

x₂=16-3x₃+11x₅

x₁=15-2x₃+10x₅

Alle Urbilder sind Linearkomb. der 2 Vektoren, wenn man x₅=0, x₃=1 und x₅=1, x₃=0 setzt:

Also Urbild = "Erzeugnis" von ... = < \( \begin{pmatrix} 13\\13\\1\\-5\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 25\\27\\0\\-8\\1 \end{pmatrix} \) >