Wie lautet der Flächeninhalt des Vierecks, das von zwei Normalen und zwei Tangenten eingeschlossen wird?

Question

Halllo,

habe mehrfach versucht ein Ergebnis zu bekommen und mache jedes Mal irgendeinen Fehler :/

Also gegeben ist die Funktion f(x)=1-x^{2}

das gesuchte Viereck ist konstruiert durch zwei Normalen die beide durch den Ursprung gehen und die Funktion in zwei Punkten P und R schneiden.

Außerdem gibt es zwei Tangenten an die Funktion . Diese beiden schneiden sich oberhalb des Hochpunkts der Parabel an einem Punkt Q (0/?)

Das Drachenviereck besteht damit aus zwei identischen Dreiecken, gespiegelt an der y-Achse.

Bitte helft mir mit einem ausführlichen (!) Lösungsweg , das wäre super !!!

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Meine Idee:

f(x) = 1-x^{2}
f ' (x( = -2x

Steigung der Normalen durch (0/0) und P (a/b) ; wobei b = 1-a^{2}

-> m= - 1/f ' (x) also - 1/-2x = 1/(2x)

y= F ' (x) (x-x0) + f (x0)

1-a^{2} = 1/(2a) (x-a) + (1-a^{2} )

0= 1/(2a) * (x-a)

0 = 1/(2a) x - 1/2

0= 1/a  * x -1



soweit richtig? Wollte erst den Urpsrung nehmen und einsetzen aber da komme ich auf kein Ergebnis !!

Comments

PS: Wenn ich den Ursprung nehme und in die Tangentengleichung einsetze kommt y=-x+1 raus und das kann nicht stimmen weil die Normale dann nicht durch den Ursprung geht!! :/

Answer 1

Du könntest hier fündig werden.

https://www.mathelounge.de/206124/bestimmen-punkte-flacheninhalt-grau-markierten-dreiecks