Funktion: fk (x) = e^kx mit k>0 im Punkt (0/1)

Question

Hab ein kleines Problem bei der Aufgabe bzw. wie ich hier weiterrechnen soll:

Die Tangente und Normale eines Graphen der Funktion f_k mit  f_k (x) = e^kx mit k>0 im Punkt P(0/1) begrenzen mit der x-Achse ein Dreieck.
Und nun soll ich einen Wert für k bestimmen,damit der Inhalt des Dreiecks minimal ist und zusätzlich noch den Flächeninhalt berechnen.

Mein Ansatz geht folgendermaßen:

Zuerst hab ich die Funktion abgeleitet: f_k'(x) = k*e^kx 
Dann hab ich versucht die Tangente und Normale zu berechnen (das klein k hinter ''t'' und ''n'' spar ich mir jetzt)

t(x) = m*x+n

m = f' (0) = k
1 = k*0+n
1 = n

t(x) = m*x+1
t(x) = 0
m*x+1 = 0  (/ -1)
m*x = -1 (/ : x)
m = -1: x

Und bei ''n'' das gleiche, wo ich für n(x) = -1/m * x + n für ''n''  ebenfalls 1 bekam. Als ich n(x) gleich 0 setzte bekam ich komischerweise -1: m = -1: x raus.
Um den Flächeninhalt zu berechnen müsste ich halt integrieren, komme damit aber noch nicht ganz so klar. Kann mir einer dann vielleicht sagen,wie ich weiterrechnen soll bzw. ob das überhaupt richtig ist? Und eventuell auch die Lösung angeben,damit ich die immer als Stütze habe?

Danke und Schönen Abend :)

Answer 1

Steigung der Tangenten im Punkt ( 0  | 1 ) = k
Steigung der Normalen im Punkt ( 0  | 1 ) = - 1 /k
Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse
k = dy / dx
dx = 1 / k
Schnittpunkt der Normalen mit der x-Achse
- 1 / k = dy / dx
dx = abs | - 1 * k | = k

Grundlinie Dreieck
1 / k + k
Höhe = 1

A= ( 1 / k + k ) / 2
(  das / 2 lasse ich weg weil ( 1 / k + k ) / 2  und 1 / k + k  an derselben
Stelle einen Extrempunkt haben )

( 1 / k + k ) ` = -1 / k^2 + 1

-1 / k^2 + 1 = 0
-1 / k^2 = -1
k^2 = 1
k = ± 1

Answer 2

f(x) = e^{k·x}

t(x) = f'(0) * x + f(0) = k·x + 1 = 0 --> x = - 1/k

n(x) = -1/f'(0) * x + f(0) = 1 - x/k = 0 --> x = k

A = k + 1/k

A' = 1 - 1/k^2 = 0 --> k = -1 ∨ k = 1