Hallo,
\(f_k(x)=x^2\cdot e^{kx}\)
Bilde die Ableitungen mit der Produktregel \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\) und berücksichtige für e-Funktionen \(f(x)=e^{kx} \quad f'(x)=k\cdot e^{kx}\).
Die 1. Ableitung bildest du daher so:
\(f(x)=x^2\cdot e^{kx}\\ u=x^2\quad v=e^{kx}\\ u'=2x\quad v'=ke^{kx}\\ f'_k(x)=2x\cdot e^{kx}+x^2\cdot ke^{kx}\\ =e^{kx}\cdot (2x+kx^2)\)
Die 2. Ableitung bildest du analog mit \(u=e^{kx}\) und \(v=(2x+kx^2)\)
a) Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x in Abhängigkeit von k auf.
\(e^{kx}\cdot (2x+kx^2)=0\)
Da e mit einem Exponent nie null werden kann, brauchst du nur die Gleichung \(2x+kx^2=0\) zu lösen.
b) Setze die 2. Ableitung = 0 und löse nach x auf.
c) Ortskurve - Du hast zwei Extremstellen gefunden. (0|0) spielt keine Rolle, aber die x-Koordinate des anderen Punktes löst du nach k auf und setzt das Ergebnis für k in die y-Koordinate ein.
Dann erhältst du Gleichung der Ortskurve \(y=x^2\cdot e^{-2}\)
d) Bestimme den Schnittpunkte zweier Funktionen der Schar, indem du für k zwei beliebige Werte einsetzt. Ist das Ergebnis unabhängig von k, handelt es sich um einen gemeinsamen Punkt der Schar.
Gruß, Silvia
