Sei f : D → R eine differenzierbare Funktion, p ∈ ]a, b[ , ]a, b[ ⊂ D und f(p) 6= 0

Question

Ich habe folgende Aufgabe und wirklich keinen Plan, wie ich Anfangen soll.

Aufgabe 1

Sei f : D → R eine differenzierbare Funktion, p ∈ ]a, b[ , ]a, b[ ⊂ D und f(p) ≠ 0 . Zeige mit Hilfe der Definition, dass die Funktion g mit g(x) := 1/f(x) in p differenzierbar ist und dass ihre Ableitung durch g '(x) = −f ' (x)/f² (x) gegeben ist.

Aufgabe 2

Berechne die Ableitung von

a) x 5 + 41x 4 − 3, 5x 3 − 20x 2 − x + 3

b) x 7 + 17x 6 − πx11 + 5 8 x 2 − 23x 4 + 3, 8

und begrunde dein Ergebnis mit den Rechenregeln f ur die Differentialrechnung.

Answer 1

$$\frac{g(p+h)-g(p)}h=\frac{\frac1{f(p+h)}-\frac1{f(p)}}h=-\frac{f(p+h)-f(p)}h\cdot\frac1{f(p)\cdot f(p+h)}.$$Da \(f\) in \(p\) differenzierbar und insbesondere dort stetig ist, existieren die Grenzwerte$$\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}h\text{ sowie }\lim_{h\to0}f(p+h)\text{ und es ist }g'(p)=-\frac{f'(p)}{f^2(p)}.$$