Sei D ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : D → R

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : D → R heißt Lipschitz-stetig (mit Konstante C),
wenn es ein C > 0 gibt, so dass fur alle ¨ x, y ∈ D gilt:
|f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| .
i) Beweisen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion f : D → R insbesondere stetig ist.
ii) Zeigen Sie, dass umgekehrt nicht jede stetige Funktion auch Lipschitz-stetig ist.
iii) Ist f : R → R Lipschitz-stetig mit Konstante C, wobei 0 < C < 1, dann hat f einen
Fixpunkt.
Hinweis: Betrachten Sie fur ¨ x0 ∈ R die Folge (xn)n∈N, wo xn := f(xn−1) fur ¨ n ≥ 1

Answer 1

i)  Sei x∈D und \(   (x_n)_{n \in \mathbb{N}}  \) eine Folge in D mit \(  \lim \limits_{n \to \infty} x_n = x \)

==>  Es gibt C>0 mit   \(   | f(x_n) - f(x) | \le C |x-x_n|   \) für alle n∈ℕ.

==>   \(  \lim \limits_{n \to \infty} | f(x_n) - f(x) \le C \cdot \lim \limits_{n \to \infty} |x_n - x| = C \cdot 0 = 0 \)

==>    \(  \lim \limits_{n \to \infty} | f(x_n) - f(x) |= 0 \)

==>   \(  \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n)  = f(x) \). Also f stetig bei x.