Ungleichung zeigen: x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x

Question

Halli

Kann mir vielleicht einer sagen/ raten, wie man diese Ungleichung zu lösen bzw. zu zeigen hat?

Zeigt, x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x , für alle x>-1

Vielen lieben Dank!

Answer 1

$$$$für \(x>-1\) definiere die Funktionen \(f\) und \(g\) durch$$f(x)=\log(1+x)-\frac x{1+x}\text{ sowie }g(x)=x-\log(1+x)$$und zeige, dass in beiden Fällen ein absolutes Minimum im Ursprung vorliegt.

Comments

Was kann ich denn damit aussagen, dass diese Hilfsfunktionen im Ursprung ein Minimum haben?

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Wenn \(f\) und \(g\) im Ursprung ein absolutes Minimum haben, gilt \(f(x)\ge0\) und \(g(x)\ge0\) für alle \(x\ge-1\), also \(\log(1+x)\geq\dfrac x{1+x}\) sowie \(x\ge\log(1+x)\).

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Ah, OK, das scheint mir logisch! !

Answer 2

x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x , für alle x>-1

Leider kann ich dir nur einen Teilnachweis anbieten

x/(x+1) ≤ x , für alle x>-1  => x+1 > 0 ( positiv )
x/(x+1) ≤ x  | * ( x + 1 )
x < x ( x + 1 )
x < x^2 + 1
0 < x^2 + 1 - x  | quadr. Erg.
0 < x^2 - x + (1/2)^2 + 1 - (1/2)^2
0 ≤ ( x - 1/2 )^2 + 3/4

Die Aussage ist stets wahr

Wie ich das mit dem " ln " zeigen kann weiß ich noch nicht.