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Halli

Kann mir vielleicht einer sagen/ raten, wie man diese Ungleichung zu lösen bzw. zu zeigen hat?

Zeigt, x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x , für alle x>-1


Vielen lieben Dank!

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für x>1x>-1 definiere die Funktionen ff und gg durchf(x)=log(1+x)x1+x sowie g(x)=xlog(1+x)f(x)=\log(1+x)-\frac x{1+x}\text{ sowie }g(x)=x-\log(1+x)und zeige, dass in beiden Fällen ein absolutes Minimum im Ursprung vorliegt.
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Was kann ich denn damit aussagen, dass diese Hilfsfunktionen im Ursprung ein Minimum haben?

Wenn ff und gg im Ursprung ein absolutes Minimum haben, gilt f(x)0f(x)\ge0 und g(x)0g(x)\ge0 für alle x1x\ge-1, also log(1+x)x1+x\log(1+x)\geq\dfrac x{1+x} sowie xlog(1+x)x\ge\log(1+x).

Ah, OK, das scheint mir logisch! !
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x/(x+1) ≤ ln(1+x) ≤ x , für alle x>-1

Leider kann ich dir nur einen Teilnachweis anbieten

x/(x+1) ≤ x , für alle x>-1  => x+1 > 0 ( positiv )
x/(x+1) ≤ x  | * ( x + 1 )
x < x ( x + 1 )
x < x^2 + 1
0 < x^2 + 1 - x  | quadr. Erg.
0 < x^2 - x + (1/2)^2 + 1 - (1/2)^2
0 ≤ ( x - 1/2 )^2 + 3/4

Die Aussage ist stets wahr

Wie ich das mit dem " ln " zeigen kann weiß ich noch nicht.
Avatar von 123 k 🚀

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