Lokales Maximum / Minimum vs isoliertes lokales Maximum / Minimum?

Question

Ich verstehe gar nicht  was der Unterschied zwischen lokales Maximum und isoliertes lokales Maximum ist? Kann mir jemand erklären/ grafisch darstellen?

Answer 1

isoliert ist ein lokales Extremum dann, wenn die Funktion in seiner Umgebung streng monoton fällt oder wächst. Bei Funktionen einer Variablen dürfte das auf die meisten Extrema zutreffen (zumindest habe ich da auf die Schnelle kein Beispiel für ein lokales Extremum das nicht isoliert ist). Anders ist das, wenn die Funktion von mehreren Variablen abhängt. Schau Dir mal die Funktion f(x,y)=x²+y² an. Da stellt sich an der "Nase" ein Extremum ein, das lokal und isoliert ist, denn die Funktion steigt in alle Richtungen um den Extremwert streng monoton. Zum Vergleich nimm jetzt mal die Funktion f(x,y)=x². Auch hier bildet sich ein Extremum aus, allerdings steigt die Funktion nur in x-Richtung streng monoton. Das Extremum ist also nicht isoliert.

Comments

Generell, was ist der Plan um zu bestimmen of es um  isoliertes oder nicht isoliertes Max/Min handelt? kann ich das irgendwie aus Hesse Matrix schließen?

---

Die Antwort ist ein klares jein :). Falls die Hesse- Matrix definit ist, also entweder positiv oder negativ Definit, dann liegt auf jedenfall ein isoliertes und lokales Extrum vor (indefinit wäre ein Sattelpunkt, siehe auch wieder unsere Beispiele oben). Du kannst jetzt in der Umkehrung jedoch nicht sagen, dass bei semi- definitheit kein isoliertes Extremum vorliegt. Bei Semidefinitheit funktioniert das Kriterium halt nicht. Hier müssen dann andere Maßnahmen her, zum beispiel ein scharfer Blick auf den Graphen...

---

Aha, alles klar.In der Klausur werde ich leider keine Funktionsgraph for Augen haben:/ Gibt es überhaupt eine Vorschrift um zu entschieden ob es um isoliertes oder einfach lokales  Extrema geht?

---

naja, wie oben in der Antwort geschrieben, ist das Entscheidungskriterium das Monotonieverhalten um den krit. Punkt herum. In der Klausur würde ich jetzt so Vorgehen, dass ich darauf baue, dass nur Eindeutige Fälle dran kommen (war bei uns immer so), also eine klar Definite bzw. Indefinite HesseMatrix. Sollte doch etwas Semidefinites dran kommen würde ich schon mal hellhörig werden. Ich habe gestern noch überlegt, dass man vielleicht auch über die Richtungsableitung argumentieren könnte, aber dann muss man ja auch schon halbwegs sicher sein, in welche Richtung die Funktion nicht streng Monoton fällt/steigt. So weit ich weiß, gibt es aber bei Semidefinitheit kein Standardverfahren, was eine sichere Analyse zulässt.