Im welchen Verhältnis wird Kreis durch Gerade x=1 geteilt? K := { (x,y) , x^2 + y^2 < 4 }

Question

In welchem verhältnis wird die im ersten Quadranten des R2 liegende fläche des kreises
K := { (x,y) , x² + y² < 4 }  von der Gerade x =1 geteilt.


aus Duplikat:

die aufgabe lautet:

Der Wasserfluss durch ein rohr mit kreisförmigen querschnitt vom radius r wird durch ein ventil desselben querschnitts gesteuert, welches senkrecht zur fließrichtung des wassers in das rohr hineingeschoben werden kann.

welcher anteil des Wasserdurchflusses wird bkockiert, wenn das ventil auf halben wege in das rohr geschoben wird. der wasserdurchfluss ist proportional zur verbleibenden Öffnung.

die aufgabe soll mittels integralrechnung gelöst werden

Comments

Meinst du

K := { (x,y) , x^2 + y^2 < 4 } ?    EDIT: Oben so korrigiert.

und kannst du schon integrieren?

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Ja genau das mein ich. Ja kann ich schon... Das war mal eine Klausur aufgabe in mathe 2

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Das war mal eine Klausur aufgabe in mathe 2

Ohne Integralrechnung : Stoff der 9. Klasse

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 x² + y² < 4

y^2 < 4-x^2

Grenzlinie im 1. Quadranten

y = √(4 - x^2) , 0< x<2.

Nun solltest du diese Wurzel von x= 1 bis x=2 integrieren.      -----> F2

Und das Ergebnis von der Fläche eines Viertelkreises mit Radius 2 subtrahieren. ---> F1

Gesucht ist F1 : F2.

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Gast hj218: Richtig: Ohne Integration könnte man mit Pythagoras .... auf F2 kommen.

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Grenzlinie im 1. Quadranten

y = √(4 - x²) , 0< x<2. wie kommst du auf 0< x<2? kannst du das noch nen bisschen erklären bitte

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Im 1. Quadranten sind ja nur Punkte mit x >=0. Also ist der

Anfang schon mal klar.

Und da der Kreis den Radius 2 hat, kann x auch nicht größer als 2 sein.

Kannst ja mal eine Zahl größer 2 einsetzen, das gibt auch nichts wegen Wurzel aus neg. Zahl.

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Zeichne dir doch mal die Funktion y = √(4 - x²) im ersten Quadranten auf.

Answer 1

x^2 + y^2 = r^2

y = √(r^2 - x^2)

G = ∫(√(2^2 - x^2), x, 0, 2) = pi

A1 = ∫(√(2^2 - x^2), x, 0, 1) = pi/3 + √3/2

A2 = pi - (pi/3 + √3/2) = 2·pi/3 - √3/2

A1 / A2 = (pi/3 + √3/2) / (2·pi/3 - √3/2) = (2·pi + 3·√3)/(4·pi - 3·√3) = 1.557530242 : 1

Answer 2

Hi,
hier eine Lösung ohne Integralrechnung. Der Flächeninhalt eines Kreissegments ist
$$ A_2 = \frac{r^2}{2} (\alpha - \sin(\alpha)) $$ mit \( \alpha \) im Bogenmaß, siehe hier



Der Winkel berechnet sich zu \( \tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{3} \) also gilt \( \alpha = 120° = \frac{2}{3}\pi \) und \( \sin(\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \)

damit ergibt sich $$ A_2 =  \frac{r^2}{2} \left(\frac{2}{3}\pi - \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) $$

Die andere Fläche berechnet sich zu $$ A_1 = \frac{r^2}{2}\pi - A_2 = \frac{r^2}{2}\pi -  \frac{r^2}{2}\left(\frac{2}{3}\pi - \frac{1}{2}\sqrt{3} \right) $$
Also $$ A_1 = \frac{r^2}{2} \left( \frac{1}{3}\pi + \frac{1}{2}\sqrt{3}   \right)  $$
Der Quotient \( \frac{A_1}{A_2} \) ergibt
$$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi + \frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{2}{3}\pi - \frac{1}{2}\sqrt{3}} = 1.558  $$

Comments

hey kann es sein dass das ein teil der lösung ist?

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ich kann das nicht richtig erkennen, was auf dem Bild steht. Aber auf jeden Fall wird da was mit Integralen gerechnet. Insofern hat das nichts mit meiner Lösung zu tun, da ich das ja rein elementar über geometrische Beziehungen gerechnet habe.

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Aber da wir ja mathe zwei haben und nunmal das Thema Integralrechnung ist geht das bestimmt auch mittels integral. Was würdest du denn für Grenzen einsetzen bei dem integral? Dann schau ich mal ob das gleiche rauskommt

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Hi,
ich hätte das wie folgt gemacht
$$ A_1 = \int_0^1 \sqrt{ 4 -x^2 } dx = \frac{1}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}  $$ und
$$ A_2 = \int_1^2 \sqrt{ 4 -x^2 } dx = \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}  $$
Und das Verhältnis ergibt \( \frac{A_1}{A_2} = 1.558 \)

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Ok alles klar so mach ich das jetzt auch :)

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würde dir dazu noch eine zeichnung einfallen?

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Hi, das sieht dann so aus

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ich habe bei mir immer noch nen fehler drin in der gleichung irgendwo^^

ist dieser schritt so richtig??

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vergiss dt nicht.

Das Minus hat vor dem Integral nichts zu suchen. Ansonsten mE. richtig ausgeklammertn.

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dann muss hier irgendwie was falsch gelaufen sein??

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√(1 - sin^2(x)) = |cos(x)|

Da x vermutlich zwischen 0 und π/2

√(1 - sin^2(x)) = |cos(x)| = cos(x)

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also mit der Parametrisierung \( x(t) = r \cdot \cos(t) \) und \( y(t) = r \cdot \sin(t) \) macht man sich das Leben nicht leichter. Aber trotzdem, das Integral

$$  A_1 = \int_0^1 \sqrt{ 4 - x^2 } dx $$ wird mit der Transformation \( x(t) = r \cdot \cos(t) \) zu

$$ A_1 = \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ arccos\left(  \frac{1}{r} \right) }  \sin^2(t) dt =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}  $$

und das stimmt nicht mit dem überein was Du geschrieben hast.

Genauso berechnet man \( A_2 \) allerdings mit anderen Integrationsgrenzen, die übrigens bei Dir auch fehlen.

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ich wollte es erstmal so hinbekommen die grenzen kann man ja immernoch einsetzen ... ich weiß nicht wo der fehler steckt. das muss doch funktionieren

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Hi,

da kannst Du rechnen solang Du willst, Du musst das Integral berechnen

$$ \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ arccos\left(  \frac{1}{r} \right) }  \sin^2(t) dt$$

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Aber es ist doch egal ob sin oder cos?

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Also das Integral über den Kosinus im Bereich von \( [0,\pi] \) ergibt Null und das gleiche Integral für den Sinus ergibt 2. Insofern ist es nicht das selbe ob man Kosinus oder Sinus nimmt.

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Hi,
die gleiche Frage hast Du doch schonmal hier

https://www.mathelounge.de/208735/im-welchen-verhaltnis-wird-kreis-durch-gerade-geteilt-x-2-y-2#c209785

gestellt und ich habe sie beantwortet. Und das mit Sinus und Kosinus ist immer noch nicht egal.

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doch also die hatte ich jetzt gelöst und bin der meinung das sin oder cos egal ist ... steht auch so in der formelsammlung. hier ist das problem ja das der kreis nicht von einer geraden geteilt wird sondern durch einen anderen kreis abgedeckt wird. ist bestimmt die selbe herangehensweise nur am ende sind doch noch andere sachen zu beachten?

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Hi,
ich denke es ist die Schittfläche beider Kreise zu berechnen.
Der erste Kreis wird durch die Funktion \( f(x) = \sqrt{r^2-x^2} \) und der zweite Kreis wird beschrieben durch \( g(x) = \sqrt{r^2 - (x-r)^2} \)
Der Schnittpunkt der beiden Kreise liegt bei \( x = \frac{r}{2} \)
Also muss man folgendes Integral berechnen um die Schnittfläche zu berechnen
$$ A(r) = 2 \cdot \left( \int_0^{\frac{r}{2}} g(x) dx + \int_{\frac{r}{2}}^r f(x) dx \right) $$
Stammfunktionen für \( f(x) \) ist $$ F(x) = \frac{r^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2} $$ und für \( g(x) \)
$$  G(x) = \frac{r^2}{2} \arcsin\left(\frac{x-r}{r}\right) + \frac{x-r}{2}\sqrt{r^2 - (x-r)^2} $$
Damit kann man den Flächeninhalt so berechnen
$$ A(r) = 2 \left[ F(r,r) - F\left(\frac{r}{2},r \right) + G\left(\frac{r}{2},r\right) - G(0,r) \right]  $$