Vollständige Induktion - Rechenschritte für Brüche und Potenzen

Question

Verstehe nicht was hier vom 1.schritt zum 2. Gemacht worden ist

(n^2(n+1)^2+4(n+1)^3) / 4

((n+1)^2(n^2+4n+4)) / 4

wodurch verschwindet die 3er potenz?

und was passiert mit dem n^2 vom anfang?

Answer 1

Hi, es wurde wohl zunächst \((n+1)^2\) ausgeklammert und dann \(4(n+1)\) ausmultipliziert. Damit sollte das Schicksal der 3er Potenz und des "\(n^2\) vom Anfang" geklärt sein.

Comments

Hab ich ehrlich gesagt nicht verstanden.

wie genau klammere ich denn dort aus?

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WAS ausgeklammert wurde, habe ich angegeben.

Answer 2

Das Stichwort heißt hier ausklammern mit dem Distributivgesetz.

(n²·(n + 1)² + 4·(n + 1)³)/4 

= (n²·(n + 1)² + 4·(n + 1)²·(n + 1))/4

= (n² + 4·(n + 1))·(n + 1)²/4

= (n² + 4·n + 4)·(n + 1)²/4

Comments

Die 3er potenz ausklammern hab ich verstanden nur die linke seite nicht

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Von der 2ten zur 3ten zeile verschwindet bei dir das (n + 1)² .

kannst du mir das erklären?

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Das gemeinsame (n + 1)^2 wird ausgeklammert.

ac + bc = (a + b)c

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Alles klar, habs verstanden.

vielen dank

Answer 3

$$ n^2(n+1)^2+4(n+1)^3 $$
$$ n^2(n^2+2n+1)+4(n^3+3n^2+3n+1) $$
$$ (n^4+2n^3+n^2)+4n^3+12n^2+12n+1 $$
$$ n^4+7n^3+13n^2+12n+1 $$
$$ (n^4+4n^3+6n^2+4n+1) + 3n^3+7n^2+8n$$
$$ (n+1)^4 +(3n^3+6n^2+6n+3)+n^2+2n-2$$
$$ (n+1)^4 +3(n+1)^3+(n^2+2n+1)-3$$
$$ (n+1)^4 +3(n+1)^3+(n+1)^2-3$$

Comments

Mmmm also bis zu dem 4.Schritt ist alles klar aber dann, könnten Sie/du den weiteren Schritt genauer erklären. :)

Lg Alex

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alles was in die quartische Ergänzung passt wird in die Klammmer genommen - der Rest bleibt draussen.

Zur nächsten Zeile gibt es zwei Schritte:

1: Das Polynom wird zu (n+1)^4 zusammengefasst und 2.der Rest wird zum kubischen Polynom ergänzt

Das ganze ist übrigens nur eine kleine Spielerei, aber vielleicht interessant ...

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Übrigens merke ich grade, dass ich einen blöden Fehler dabei gemacht habe - am besten Du vergisst das Ganze!

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Jetzt etwas nachvollziehbarer und hoffentlich fehlerreduziert ...

$$ (n^4+4n^3+6n^2+4n+1) + 3n^3+7n^2+8n $$
$$ (n+1)^4 + 3n^3+7n^2+8n $$
$$ (n+1)^4 + (3n^3+9n^2+9n+3) -2n^2-n-3 $$
$$ (n+1)^4 + 3 \cdot (n^3+3n^2+3n+1) -2n^2-n-3 $$
$$ (n+1)^4 + 3 \cdot (n+1)^3 -2n^2-n-3 $$
$$ (n+1)^4 + 3 \cdot (n+1)^3 -2 \cdot (n^2+2n+1)+3n-1 $$
$$ (n+1)^4 + 3 \cdot (n+1)^3 -2 \cdot (n+1)^2+3n-1 $$

... hilft dir aber trotzdem nicht bei deiner Aufgabe !

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Ok die Schritte sind nun Klar aber dieser hier bräuchte noch eine Erläuterung: von -2n^2-n-3 zu-2*(n^2+2n+1)+3n-1  (5zum 6 Schritt)

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$$-2\cdot(n^2+2n+1) =-2\cdot(n+1)^2 $$Quadratische Ergänzung:$$$$

I:$$ -2n^2-n-3$$II:$$-2\cdot(n^2+2n+1)  $$I-II:$$ -2n^2-(-2n^2)-n-(-4n)-3-(-2)$$I-II:$$ -2n^2+2n^2-n+4n-3+2$$I-II:$$ 0+3n-1$$

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Ok... Also bei I wird 2 Ausgeklammert ; aber was dann passiert...mm ich schau mir das bereits 30 Minuten an, aber irgendwie versteh ich den 3. Schritt nicht also
−2n2−(−2n2)−n−(−4n)−3−(−2)

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I ist der Term , wie er vorliegt

II ist die Binomische Form, die man gerne hätte, um ein Quadrat bilden zu können.

I-II ist die Differenz zwischen diesen beiden , also Ausgangsterm minus Zielterm, um den der Zielterm ergänzt werden muss, um den Wert des Ausgangsterms zu erreichen.

Das ganze nennt man dann quadratische Ergänzung.